Trik Menyusun Bilangan Habis Dibagi 3
Misteri Habis Dibagi 3
Sebuah bilangan pasti habis dibagi 3 jika dan hanya jika total penjumlahan semua digit penyusunnya habis dibagi 3.
Sering kali kita terkecoh dengan mengamati angka terakhir (satuannya) saja. Cara melihat angka satuan memang sangat ampuh untuk menguji bilangan genap (kelipatan 2) atau kelipatan 5, tetapi cara ini tidak berlaku untuk keterbagian 3. Sebagai contoh, bilangan $13$ berakhiran angka $3$, namun $13$ tidak habis dibagi 3 (bersisa $1$). Sebaliknya, bilangan $24$ berakhiran angka $4$ (yang bukan kelipatan 3), tetapi $24$ justru habis dibagi 3 karena jumlah digitnya adalah $2 + 4 = 6$, dan $6$ habis dibagi 3 ($24 \div 3 = 8$).
Secara matematis, setiap perpangkatan sepuluh selalu bersisa 1 jika dibagi 3: $10 = 9 + 1$, $100 = 99 + 1$, dan seterusnya. Akibatnya, nilai suatu bilangan ratusan $abc = 100a + 10b + c = (99a + 9b) + (a + b + c)$. Karena $(99a + 9b)$ sudah pasti kelipatan 3, penentu nasib akhir keterbagian bilangan tersebut sepenuhnya berada pada jumlah digit-digitnya: $(a + b + c)$.
Mengapa bilangan 154 TIDAK habis dibagi 3?
- Karena angka terakhirnya yaitu 4 bukanlah angka ganjil kelipatan 3.
- Karena jumlah angkanya yaitu 1+5+4 bernilai 10, yang tidak habis dibagi 3.
- Karena bilangan ratusan sulit untuk langsung dibagi oleh angka prima kecil tunggal.
- Karena tidak tersusun dari angka-angka genap dan ganjil yang berjumlah sama.
Jawaban: Karena jumlah angkanya yaitu 1+5+4 bernilai 10, yang tidak habis dibagi 3.
Bilangan 154 memiliki jumlah digit 1 + 5 + 4 = 10. Karena 10 tidak habis dibagi 3, maka bilangan 154 tidak habis dibagi 3. Pengecoh A salah karena aturan keterbagian 3 tidak ditentukan oleh angka satuan atau angka terakhirnya.
Ciri khas bilangan yang habis dibagi 3 terletak pada penjumlahan total digitnya.
Pilih Kartu yang Tepat
Langkah awal menyusun bilangan bersyarat adalah menyeleksi kombinasi kelompok angka yang valid tanpa memikirkan susunan urutannya sama sekali.
Ibarat mengundang 3 teman bermain dari 5 orang kandidat, kita harus memastikan teman-teman yang terpilih memiliki kecocokan sifat terlebih dahulu sebelum menentukan posisi bermain mereka. Dari himpunan angka $\{1, 2, 3, 5, 6\}$, kita ingin memilih 3 angka berbeda sedemikian rupa sehingga jumlah ketiganya habis dibagi 3. Karena angka terkecil berjumlah $1+2+3=6$ dan terbesar $3+5+6=14$, target kelipatan 3 yang mungkin dicapai hanyalah $6, 9,$ atau $12$.
Mari kita periksa kelompoknya:
Kelompok $\{1, 2, 6\} \rightarrow 1 + 2 + 6 = 9$ (berhasil, kelipatan 3).
Kelompok $\{1, 2, 5\} \rightarrow 1 + 2 + 5 = 8$ (gagal, bukan kelipatan 3).
Jika semua pasangan 3 angka diuji, hanya ada 4 kelompok valid yang memenuhi kriteria:
$\{1, 2, 3\}$ dengan jumlah $6$
$\{1, 2, 6\}$ dengan jumlah $9$
$\{1, 3, 5\}$ dengan jumlah $9$
$\{1, 5, 6\}$ dengan jumlah $12$
Ingat, pada tahap ini kita baru mengumpulkan kombinasi anggotanya ke dalam satu kantong. Kita sama sekali belum mengatur siapa yang menjadi ratusan, puluhan, atau satuan.
Dari kombinasi berikut, manakah kelompok tiga angka yang valid untuk membuat bilangan kelipatan 3?
- Kelompok kartu {1, 3, 5} adalah kombinasi yang valid untuk membuat bilangan kelipatan 3. — Benar
- Kelompok kartu {2, 3, 6} adalah kombinasi yang valid untuk membuat bilangan kelipatan 3. — Salah
- Kelompok kartu {1, 5, 6} adalah kombinasi yang valid untuk membuat bilangan kelipatan 3. — Benar
Kelompok {1, 3, 5} valid karena 1+3+5 = 9 (habis dibagi 3). Kelompok {2, 3, 6} tidak valid karena 2+3+6 = 11 (tidak habis dibagi 3). Kelompok {1, 5, 6} valid karena 1+5+6 = 12 (habis dibagi 3).
Seleksi kandidat kelompok angka penentu berdasarkan jumlah digit untuk pembagian 3.
Mengatur Posisi Kursi
Banyaknya cara mengatur urutan 3 benda berbeda ke dalam 3 tempat posisi adalah 6 susunan.
Setelah 3 teman bermain terpilih, tibalah saatnya mengatur bagaimana mereka duduk berderet di 3 kursi: kursi ratusan, kursi puluhan, dan kursi satuan. Kita tidak perlu mencatat semua variasi bilangannya secara manual satu per satu karena rawan terlewat. Cukup gunakan aturan pengisian tempat bertingkat:
Kursi Ratusan (pilihan pertama): Ada $3$ kandidat angka yang siap duduk.
Kursi Puluhan (pilihan kedua): Karena satu angka sudah menempati kursi pertama, tersisa $2$ pilihan angka.
Kursi Satuan (pilihan ketiga): Tersisa $1$ angka terakhir untuk kursi penutup.
Berdasarkan kaidah perkalian, banyaknya variasi susunan urutan duduk adalah:
$$3 \times 2 \times 1 = 6 \text{ susunan}$$
Artinya, setiap satu kelompok angka yang valid akan selalu melahirkan tepat $6$ bilangan tiga digit yang berbeda.
Kamu punya 3 balok huruf unik dan akan memajangnya jejer berdampingan di meja. Berapa cara kamu bisa memajang balok-balok huruf ini berdampingan?
- Hanya ada 3 cara sesuai dengan jumlah balok.
- Ada 6 variasi cara memajang balok tersebut.
- Ada 9 cara mengatur pajangan balok.
- Terbatas pada 4 cara dengan memindahkan posisi di ujung saja.
Jawaban: Ada 6 variasi cara memajang balok tersebut.
Untuk 3 balok berbeda yang dipajang di 3 posisi berdampingan, posisi pertama memiliki 3 pilihan, posisi kedua 2 pilihan, dan posisi ketiga 1 pilihan. Berdasarkan aturan perkalian, total susunannya adalah 3 × 2 × 1 = 6 variasi cara.
Banyak susunan berbeda dari 3 benda dalam 3 ruang slot.