Misteri Angka Satuan: Membongkar Pola Pangkat Raksasa

Kenapa Cuma Peduli Angka Paling Belakang?

Pernah nggak kamu kepikiran, kenapa kalau kita diminta nyari angka satuan (angka paling kanan) dari hasil suatu perpangkatan besar, kita cuma disuruh merhatiin angka paling belakangnya aja?

Mari kita ambil contoh sederhana. Coba bayangin kamu lagi ngitung $27 \times 17$ pakai cara perkalian bersusun ke bawah yang biasa kita pelajari di SD.

Pas kamu mulai mengalikan, langkah pertama yang kamu lakukan pasti $7 \times 7 = 49$, kan? Angka $9$-nya langsung turun ke bawah menempati posisi angka satuan dari hasil akhir, sementara angka $4$-nya disimpan untuk ditambahkan ke hitungan puluhan.

Perhatikan bahwa perkalian pada angka puluhan atau ratusannya (yaitu angka $2$ dan $1$) hanya akan menambahkan jumlah ke kolom-kolom di sebelah kiri, tapi nggak akan pernah mundur atau menyentuh kolom paling kanan!

Prinsip inilah yang jadi alasan kuat kenapa untuk mencari angka satuan dari $7^{2026}$ (yang artinya $7 \times 7 \times 7 \dots$ sebanyak 2.026 kali), kamu nggak usah repot-repot menghitung hasil aslinya. Kita cukup kalikan "ujung-ujungnya" saja secara berulang!

Terjebak dalam Putaran Angka

Karena kita sudah sepakat bahwa kita cuma perlu fokus pada ujung angkanya saja, sekarang mari kita susun apa yang terjadi kalau angka $7$ dipangkatkan terus-menerus.

Coba amati pola angka satuan di bawah ini:

• $7^1 \rightarrow$ berujung pada $7$

• $7^2 \rightarrow$ diambil dari ujung hasil $7 \times 7 = 49$, yaitu $9$

• $7^3 \rightarrow$ diambil dari ujung hasil $9 \times 7 = 63$, yaitu $3$

• $7^4 \rightarrow$ diambil dari ujung hasil $3 \times 7 = 21$, yaitu $1$

Sekarang pertanyaannya, apa yang bakal terjadi pada $7^5$? Kita cukup mengalikan angka satuan dari $7^4$ (yaitu $1$) dengan $7$. Hasilnya? $1 \times 7 = 7$! Wah, angkanya balik lagi ke awal!

Berdasarkan pembuktian tadi, kita bisa simpulkan bahwa pangkat dari bilangan basis $7$ memiliki siklus angka satuan $[7, 9, 3, 1]$. Pola ini selalu berulang setiap $4$ tahap, sehingga kita menyebutnya punya "panjang siklus = 4".

Mesin Waktu Pembagian

Sekarang kita sudah memegang senjatanya: polanya selalu berulang tiap 4 kali, yaitu $[7, 9, 3, 1]$. Tapi kalau yang ditanya adalah $7^{2026}$, masa iya kita harus menghitung putarannya dari 1 sampai 2.026 kali secara manual? Tentu tidak!

Di sinilah pembagian (atau dalam bahasa matematika disebut aritmatika modular) bertindak seperti mesin waktu yang langsung membawa kita ke posisi yang tepat. Karena polanya selalu memutar setiap 4 langkah, kita hanya perlu membagi pangkat tersebut dengan panjang siklusnya (yaitu 4).

Mari kita hitung pembagiannya untuk soal tadi: $2026 \div 4 = \mathbf{506}$ dengan sisa $2$.

Sisa $2$ punya arti bahwa: setelah pola diputar 506 kali, kamu hanya perlu maju $2$ langkah lagi dari titik start.

Mari kita lihat kembali daftarmu: $[7, \mathbf{9}, 3, 1]$. Langkah pertama: $7$. Langkah kedua: $9$.

Ketemu deh! Angka satuan dari $7^{2026}$ adalah $9$. Mudah dan cepat, kan?