Anatomi Fungsi Rasional: Membedah Asimtot

Garis Vertikal dan Horizontal

Garis vertikal memiliki persamaan $x=c$ karena memotong sumbu $x$, sedangkan garis horizontal memiliki persamaan $y=c$ karena memotong sumbu $y$.

Pada bidang koordinat Kartesius, sumbu $x$ membentang mendatar (horizontal) dan sumbu $y$ berdiri tegak (vertikal). Ketika kita menarik sebuah garis lurus yang berdiri tegak sejajar sumbu $y$, garis tersebut akan memotong sumbu $x$ di suatu titik, misalnya di angka $3$. Di sepanjang garis tegak itu, nilai absis ($x$) tidak pernah berubah dan selalu sama dengan $3$, apa pun nilai tingginya ($y$). Oleh karena itu, persamaan garis vertikal tersebut ditulis sebagai $x=3$.

Sebaliknya, garis yang membentang mendatar memotong sumbu $y$ di ketinggian tertentu, misalnya di angka $2$. Di sepanjang garis datar ini, nilai ordinat ($y$) selalu tetap bernilai $2$. Karena itu, persamaan garis horizontal tersebut ditulis sebagai $y=2$.

Asimtot Tegak dan Domain

Nilai $x$ yang membuat penyebut nol dikeluarkan dari domain dan menjadi posisi asimtot tegak.

Pada fungsi rasional, pembagian dengan bilangan nol tidak terdefinisi dalam matematika. Perhatikan fungsi $f(x) = \frac{2x+1}{x-3}$. Agar fungsi ini terdefinisi, bagian penyebut tidak boleh bernilai nol:

$$x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3$$

Daerah asal atau domain dari fungsi ini adalah semua bilangan riil selain $3$, yaitu $\{x \mid x \neq 3, x \in \mathbb{R}\}$. Oleh karena itu, Opsi A BENAR.

Lalu apa yang terjadi pada kurva saat nilai $x$ bergerak makin mendekati angka terlarang $x=3$? Saat $x$ sangat dekat ke $3$, nilai penyebut $(x-3)$ menjadi sangat kecil (mendekati nol), yang mengakibatkan hasil pembagian melonjak sangat besar menuju tak terhingga positif atau negatif. Kurva tampak mendekati sebuah garis tegak lurus tetapi tidak pernah menyentuhnya. Garis pembatas ini dinamakan asimtot tegak.

Karena garis pembatas ini berdiri vertikal dan memotong sumbu mendatar di angka $3$, persamaannya adalah $x=3$. Maka, Opsi B BENAR.

Asimtot Datar: Menuju Tak Hingga

Asimtot datar mewakili nilai batas fungsi saat nilai $x$ membesar tanpa batas menuju tak hingga.

Jika asimtot tegak mengamati perilaku di dekat titik pembuat nol, asimtot datar mengamati perilaku fungsi saat kita melaju sangat jauh ke ujung kanan ($x \to +\infty$) atau ujung kiri ($x \to -\infty$). Pada soal, pernyataan menyebutkan asimtot datarnya adalah $y=2$, yang berarti Opsi C BENAR. Mengapa nilainya tepat $2$?

Mari kita amati apa yang terjadi pada fungsi $f(x) = \frac{2x+1}{x-3}$ ketika $x$ bernilai luar biasa besar, misalnya $x = 1.000.000$ (satu juta):

• Pembilang menjadi $2(1.000.000) + 1 = 2.000.001$. Angka $+1$ di sini hampir tidak ada pengaruhnya dibanding dua juta.

• Penyebut menjadi $1.000.000 - 3 = 999.997$. Angka $-3$ di sini juga praktis tidak berarti dibanding satu juta.

Saat $x$ menuju tak terhingga, konstanta $+1$ dan $-3$ bisa diabaikan karena nilainya kerdil dibandingkan suku bervariabel $x$. Bentuk fungsi tersebut akan mendekati:

$$f(x) \approx \frac{2x}{x} = 2$$

Karena kurva di kejauhan merata mendekati garis horizontal di ketinggian $2$, maka persamaan garis batas horizontal ini adalah $y=2$. Pola ini yang mendasari rumus praktis membagi koefisien derajat tertinggi ketika pangkat pembilang dan penyebut sama besar.