Aljabar Laju Kerja: Skenario Bertahap

Kenapa Waktu Tidak Bisa Dijumlah?

Kalau kamu melihat soal dua orang bekerja sama atau dua pipa mengisi kolam yang sama, godaan terbesarnya adalah menjumlahkan waktu mereka. Misalnya, Pipa A butuh $8$ jam, Pipa B butuh $12$ jam, lalu dijumlahkan jadi $20$ jam. Tapi pikirkan lagi: kalau mereka bekerja bareng, harusnya makin cepat dong, bukan makin lama!

Di sinilah kita tidak boleh berhitung pakai "waktu", tapi harus pakai laju (rate). Laju adalah seberapa banyak pekerjaan yang beres dalam satu satuan waktu (dalam soal ini: 1 jam).

Berdasarkan catatan sejarah dari ahli matematika kuno hingga sekarang, rumus yang selalu berlaku adalah Pekerjaan = Laju $\times$ Waktu. Kita anggap total pekerjaan (1 kolam penuh) sebagai $W = 1$.

Karena Pipa A butuh $t_A = 8$ jam untuk mengisi $1$ kolam, maka lajunya (kecepatannya) adalah $v_A = \frac{1}{8}$ kolam per jam. Ini berarti, dalam 1 jam, Pipa A cuma sanggup mengisi seperlapan dari kolam itu. Hal yang sama berlaku untuk Pipa B yang butuh $12$ jam. Lajunya adalah $v_B = \frac{1}{12}$ kolam per jam.

Mesin X bisa mencetak brosur dalam $15$ jam, sedangkan Mesin Y butuh $30$ jam. Jika mereka bekerja bersamaan, berapa laju gabungan mereka per jam?

  • A. $24$ jam
  • B. $\frac{1}{24}$ kolam per jam
  • C. $\frac{1}{10}$ kolam per jam
  • D. $10$ jam

Jawaban: C. $\frac{1}{10}$ kolam per jam

Laju mesin X adalah $\frac{1}{15}$ dan mesin Y adalah $\frac{1}{30}$. Laju gabungan = $\frac{1}{15} + \frac{1}{30} = \frac{2}{30} + \frac{1}{30} = \frac{3}{30} = \frac{1}{10}$ bagian per jam.

Laju kerja adalah kebalikan dari waktu penyelesaian, dan laju inilah yang bisa ditambahkan.

Aljabar Pengisi vs Pembuang

Di dunia nyata, ada pipa yang tugasnya mengisi, ada juga yang tugasnya mengosongkan (atau membocorkan). Gimana cara membedakannya dalam matematika?

Kita menggunakan tanda aljabar positif dan negatif. Ini mewakili arah aliran airnya.

Dalam soal kita, Pipa C bisa mengosongkan kolam yang penuh dalam $16$ jam. Secara matematis, laju Pipa C adalah $v_C = -\frac{1}{16}$ kolam per jam.

Lalu, apa yang terjadi kalau beberapa pipa—baik pengisi maupun pembuang—dibuka bersamaan? Gampang! Laju gabungannya hanyalah penjumlahan aljabar biasa dari laju masing-masing.

$v_{total} = v_A + v_B + v_C$

Kalau hasil perhitungan akhirnya masih positif, berarti kolam perlahan-lahan terisi. Kalau hasilnya negatif, berarti airnya malah menyusut!

Sebuah tangki punya dua pipa pengisi (Pipa 1 mengisi dalam $3$ jam, Pipa 2 dalam $4$ jam) dan satu pipa pembuang yang mengosongkan dalam $6$ jam. Bagaimana cara menuliskan laju gabungan saat ketiganya dibuka bersamaan?

  • A. Menjumlahkan waktu ketiga pipa: $3 + 4 + 6$
  • B. Menjumlahkan laju dengan tanda: $\frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{6}$
  • C. Mengurangkan waktu: $3 + 4 - 6$
  • D. Menjumlahkan semua laju: $\frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6}$

Jawaban: B. Menjumlahkan laju dengan tanda: $\frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{6}$

Pipa 1 dan 2 menambah air (positif, $\frac{1}{3}$ dan $\frac{1}{4}$), sedangkan pipa pembuang mengurangi air (negatif, $-\frac{1}{6}$).

Pipa pembuang mengurangi laju pengisian, direpresentasikan dengan nilai negatif dalam perhitungan laju gabungan.

Persamaan Multi-Tahap (Master Equation)

Banyak siswa yang stuck di soal ini karena skenarionya terjadi dalam dua babak (multi-tahap). Babak 1: hanya A & B yang menyala selama 2 jam. Babak 2: A, B, dan C menyala semua sampai kolam penuh.

Biar gak pusing menalar di tengah-tengah berhitung, kita wajib bikin peta jalan alias persamaan utamanya sebelum masuk ke angka.

Kita kembali ke konsep dasar: $W = v \times t$ (Total Kerja = Laju $\times$ Waktu). Karena kolam ini diisi secara bertahap, maka: (Kerja di Tahap 1) + (Kerja di Tahap 2) = Total 1 Kolam Penuh

Mari kita rumuskan aljabarnya:

Ini adalah kompas kita! Tujuan akhir kita hanyalah mencari tahu berapa nilai $t_2$.