Membongkar Teka-Teki Bilangan Dua Angka

Anatomi Bilangan Dua Angka

Sebuah bilangan dua angka harus ditulis sebagai penjumlahan nilai tempatnya, yaitu $10$ kali angka puluhan ditambah angka satuan.

Dalam sistem bilangan desimal (basis 10), posisi suatu angka menentukan nilai sebenarnya yang dibawa oleh angka tersebut. Angka di sebelah kiri mewakili kelompok puluhan, sedangkan angka di sebelah kanan mewakili satuan lepas. Bayangkan sebuah roda kode brankas mekanik: roda kiri mewakili nilai puluhan, dan roda kanan mewakili nilai satuan. Jika roda kiri berhenti di angka $3$, kontribusinya pada kombinasi brankas bernilai $30$, bukan hanya $3$.

Secara matematis, jika kita memiliki bilangan dua angka dengan digit puluhan $a$ dan digit satuan $b$, nilainya bukan perkalian $a \times b$ atau $ab$, melainkan:

$$\text{Nilai Bilangan} = 10a + b$$

Sebagai contoh, pada bilangan $35$, angka puluhannya adalah $3$ dan satuannya adalah $5$. Nilai keseluruhannya adalah $10(3) + 5 = 35$. Jika kedua roda brankas ditukar sehingga angka puluhan dan satuannya berganti posisi menjadi $53$, nilai bilangan barunya menjadi $10(5) + 3 = 53$ atau secara umum $10b + a$.

Sebuah bilangan dua angka memiliki angka puluhan m dan angka satuan n. Jika angka puluhan dan satuan pada bilangan tersebut ditukar, maka bentuk aljabar dari bilangan yang baru adalah...

  • nm
  • 10m + n
  • 10n + m
  • m + 10n

Jawaban: 10n + m

Bilangan awal memiliki puluhan m dan satuan n, sehingga bernilai 10m + n. Ketika posisi angkanya ditukar, angka n menempati posisi puluhan (bernilai 10n) dan angka m menempati posisi satuan (bernilai m). Dengan demikian, bentuk aljabar dari bilangan yang baru adalah 10n + m. Pilihan nm salah karena merupakan perkalian variabel, bukan nilai tempat bilangan.

Penulisan aljabar bilangan dua angka berdasarkan nilai tempat.

Logika Pembagian Bersisa

Dalam pembagian bersisa, bilangan yang dibagi sama dengan pembagi dikali hasil bagi, lalu ditambah sisa.

Ketika kita membagi sejumlah benda ke dalam kelompok-kelompok sama rata dan ada bagian yang tersisa, bagian sisa tersebut adalah kuantitas utuh yang tidak cukup lagi untuk membentuk satu kelompok pembagi baru. Hubungan mendasar ini dirumuskan sebagai:

$$\text{Bilangan} = (\text{Pembagi} \times \text{Hasil Bagi}) + \text{Sisa}$$

Diagram alur rumus pembagian bersisa yang menghubungkan Bilangan, Pembagi, Hasil Bagi, dan Sisa

Perhatikan struktur hubungan di atas secara saksama. Salah satu kekeliruan yang kerap muncul adalah menuliskan hubungan pembagian sebagai $P / Q = H + S$. Bentuk tersebut tidak tepat karena sisa pembagian adalah kuantitas bilangan bulat tersisa, bukan bagian pecahan dari hasil bagi.

Bilangan K jika dibagi dengan L menghasilkan hasil bagi 6 dan sisa 2. Persamaan matematis yang benar untuk hubungan tersebut adalah...

  • K = 6L + 2
  • K/L = 6 + 2
  • K = 2L + 6
  • K = 6(L + 2)

Jawaban: K = 6L + 2

Berdasarkan prinsip pembagian bersisa, Bilangan = (Pembagi x Hasil Bagi) + Sisa. Pada soal ini, bilangan yang dibagi adalah K, pembaginya L, hasil baginya 6, dan sisanya 2. Oleh karena itu, hubungan aljabar yang tepat adalah K = (L x 6) + 2 atau K = 6L + 2. Bentuk K/L = 6 + 2 keliru karena sisa pembagian tidak boleh dijumlahkan langsung ke hasil bagi bulat tanpa dibagi L terlebih dahulu.

Rumus aljabar pembagian bersisa.

Menerjemahkan Syarat Pertama

Syarat pembagian dalam soal dapat diubah menjadi persamaan linear dua variabel dengan menggabungkan konsep nilai tempat dan pembagian bersisa.

Mari kita tinjau kalimat pertama dari soal: "Sebuah bilangan dua angka jika dibagi oleh jumlah angka-angkanya menghasilkan hasil bagi $4$ dan sisa $3$."

  1. Definisikan komponen-komponennya:

    • Bilangan yang dibagi: bilangan dua angka dengan puluhan $a$ dan satuan $b$, yaitu $10a + b$.

    • Pembagi: jumlah angka-angkanya, yaitu $(a + b)$.

    • Hasil bagi: $4$.

    • Sisa: $3$.

  2. Susun persamaan dasar: Berdasarkan aturan $\text{Bilangan} = (\text{Pembagi} \times \text{Hasil Bagi}) + \text{Sisa}$, kita peroleh:

    $$10a + b = 4(a + b) + 3$$

  3. Sederhanakan secara aljabar: Terapkan sifat distributif pada ruas kanan:

    $$10a + b = 4a + 4b + 3$$

    Pindahkan semua suku yang memuat variabel ke ruas kiri dengan mengurangkan $4a$ dan $4b$ dari kedua ruas:

    $$(10a - 4a) + (b - 4b) = 3$$

    $$6a - 3b = 3$$

    Bagi seluruh suku di kedua ruas dengan $3$ untuk mendapatkan persamaan paling sederhana:

    $$2a - b = 1$$

Kita simpan persamaan $2a - b = 1$ ini sebagai persamaan pertama dari sistem teka-teki bilangan kita.

Sebuah bilangan dua angka jika dibagi oleh selisih angka puluhan dan satuannya (puluhan lebih besar) menghasilkan hasil bagi 5 dan sisa 1. Jika angka puluhan adalah p dan angka satuan adalah q, bentuk persamaan awal sebelum disederhanakan yang tepat adalah...

  • pq = 5(p - q) + 1
  • 10p + q = 5(p - q) + 1
  • 10p + q = 5p - q + 1
  • 10p + q = (p - q) + 5 + 1

Jawaban: 10p + q = 5(p - q) + 1

Bilangan dua angka dengan puluhan p dan satuan q bernilai 10p + q berdasarkan konsep nilai tempat. Karena bilangan tersebut dibagi oleh selisih angkanya yaitu (p - q) serta menghasilkan hasil bagi 5 dan sisa 1, kita terapkan aturan Bilangan = Pembagi x Hasil Bagi + Sisa. Bentuk aljabar yang tepat adalah 10p + q = 5(p - q) + 1. Tanda kurung pada (p - q) wajib digunakan agar seluruh pembagi dikalikan dengan 5.

Menyusun persamaan dari kondisi nilai tempat dan pembagian.