Peluang Kejadian: Misteri Urutan Lahir

Keluarga Pak Mehmed yang Terus Bertambah

Saat merencanakan keluarga, tebak-tebakan tentang jenis kelamin anak selalu jadi hal yang seru. Biasanya kita mikir probabilitas lahirnya anak laki-laki (L) atau perempuan (P) itu $50 : 50$.

Mari kita bangun ceritanya dari awal. Bayangkan Pak Mehmed baru punya anak pertama. Kemungkinannya cuma ada dua: Laki-laki atau Perempuan.

Lalu, saat anak kedua lahir, skenario keluarga mereka jadi makin bercabang. Kalau anak pertamanya laki-laki, anak keduanya bisa laki-laki atau perempuan. Kalau anak pertamanya perempuan, anak keduanya juga bisa laki-laki atau perempuan. Skenario keluarganya berlipat ganda jadi empat kemungkinan.

Pola ini terus berlanjut! Setiap kali ada satu anak lahir, total skenario yang mungkin terjadi di keluarga itu akan selalu dikali dua.

Untuk keluarga Pak Mehmed yang merencanakan punya 4 orang anak, perhitungannya jadi seperti ini: $2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$ skenario unik keluarga.

Kalau Pak Mehmed berubah pikiran dan ingin punya 5 anak, ada berapa total skenario jenis kelamin keluarga yang mungkin terjadi?

  • A. 10 skenario
  • B. 32 skenario
  • C. 25 skenario
  • D. 15 skenario

Jawaban: B. 32 skenario

Setiap anak menambah cabang 2 kali lipat. Untuk 5 anak: $2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$.

Ruang sampel berlipat ganda setiap kali terjadi kejadian independen dengan 2 kemungkinan.

Mencari Si Kembar Laki-Laki (Tepat Dua)

Sekarang kita udah tau ada 16 skenario ending keluarga. Pertanyaannya: dari 16 skenario itu, ada berapa jalan cerita yang isinya tepat punya dua anak laki-laki?

Padahal di dunia nyata, siapa yang jadi kakak dan siapa yang jadi adik itu bikin cerita keluarganya sangat berbeda! Mempunyai formasi anak "Laki-laki - Laki-laki - Perempuan - Perempuan" (dua anak sulung laki-laki) punya hitungan yang beda dengan formasi "Laki-laki - Perempuan - Laki-laki - Perempuan" (selang-seling).

Ayo kita cacah pelan-pelan. Kita punya 4 "slot" atau posisi lahir (Anak 1 sampai 4). Kita mau meletakkan 2 anak laki-laki di dalam posisi-posisi tersebut.

ilustrasi

Kalau kita cermati posisi si laki-lakinya, kemungkinannya ada di anak ke:

  1. (1, 2)

  2. (1, 3)

  3. (1, 4)

  4. (2, 3)

  5. (2, 4)

  6. (3, 4)

Ternyata, ada 6 urutan berbeda untuk mendapatkan tepat 2 anak laki-laki dan 2 perempuan!

Di matematika, cara cepat menghitung banyaknya variasi posisi tanpa memedulikan urutan individual di dalam grupnya disebut sebagai Kombinasi atau $C$. Kalau kamu pernah belajar kombinasi, ini asalnya dari $C(4,2) = 6$. Tapi intinya, logikanya datang dari mendaftarkan posisi seperti di atas!

Tentukan Benar atau Salah pernyataan tentang variasi urutan kelahiran ini!

  • Mendapatkan 4 anak perempuan hanya punya 1 variasi urutan saja. — Salah
  • Mendapatkan urutan Perempuan-Laki-Laki-Laki-Laki-Laki dihitung sebagai 1 skenario yang berbeda dari Laki-Laki-Perempuan-Laki-Laki. — Benar
  • Mendapatkan 2 Laki-laki dan 2 Perempuan selalu dianggap sebagai 1 skenario tunggal di ruang sampel. — Salah

P(P,P,P) dihitung 1 karena semua posisinya diisi P, tidak ada variasi urutan. L(P,L,L) adalah salah satu dari 4 variasi 3 Laki-laki. (L,L,P,P) hanya salah satu dari 6 kemungkinan, bukan mewakili keseluruhan kelompok 2 Laki-laki.

Urutan kejadian independen menghasilkan variasi kombinasi yang berbeda, tidak bisa dianggap sebagai 1 kesatuan.

Tiga Laki-Laki: Fokus Pada yang Sedikit

Kita udah beres nih ngurusin kemungkinan "tepat 2 anak laki-laki" yang ternyata ada 6 variasi skenario. Sekarang, gimana kalau keluarga Pak Mehmed pengin tepat 3 anak laki-laki?

Membayangkan posisi 3 anak laki-laki dari 4 bersaudara mungkin lumayan bikin kepala keriting kalau kita mendaftar urutannya satu-satu kayak sebelumnya.

Tapi tunggu dulu, ada trik logikanya! Punya 3 anak laki-laki dari 4 anak berarti pasti ada tepat 1 anak perempuan.

Daripada kita repot-repot nyari di mana posisi 3 anak laki-laki, mending kita putar logikanya dan fokus pada yang minoritas: "Siapa yang jadi anak perempuan di keluarga itu?"

Ternyata cuma ada 4 tempat kosong buat si anak perempuan:

Karena posisi anak perempuan cuma bisa di 4 tempat itu, otomatis skenario "tepat tiga laki-laki" juga cuma ada 4 skenario!

Coba bayangkan kalau kamu pakai rumus kombinasi $C(4,3)$. Jawabannya pasti 4. Tapi lewat logika "mencari yang minoritas" ini, kamu bisa ngitung jauh lebih cepat dan asyik tanpa harus ingat rumusnya.