Peluang Acak: Logika Kombinasi

Peluang = Target dibagi Semesta

Peluang adalah perbandingan antara jumlah kejadian spesifik yang kita inginkan (target) dengan total semua kemungkinan yang bisa terjadi (semesta).

Bayangkan kamu sedang berada di sebuah restoran cepat saji yang menyediakan paket hemat berisi 3 item. Dari puluhan pilihan makanan dan minuman yang ada di daftar menu, kamu ingin meracik paket impian: 1 porsi nasi, 1 porsi lauk, dan 1 gelas minuman. Di sini, paket impian tersebut adalah target yang kamu tuju, sedangkan semesta adalah seluruh variasi paket 3 item apa pun yang mungkin tersusun—mulai dari 3 nasi semua, 2 lauk dan 1 minuman, hingga paket impianmu tadi.

Secara matematis, peluang selalu dinyatakan dalam bentuk pecahan:

$$\text{Peluang} = \frac{\text{Banyaknya cara mendapatkan target}}{\text{Banyaknya seluruh kemungkinan (semesta)}}$$

Pada kotak di soal kita, terdapat total $12$ bola yang terdiri atas $5$ bola merah, $4$ bola putih, dan $3$ bola biru. Karena kita mengambil $3$ bola sekaligus secara acak:

• Target kita adalah kejadian terambilnya tepat $1$ bola merah, $1$ bola putih, dan $1$ bola biru.

• Semesta kita adalah total seluruh cara mengambil $3$ bola acak apa saja dari $12$ bola yang tersedia.

Agar bisa menjawab soal dengan tepat, kita tinggal memecahnya menjadi dua tugas sederhana: menghitung berapa banyak variasi untuk target (pembilang), lalu menghitung berapa banyak total kemungkinan semesta (penyebut).

Kapan Dikali, Kapan Ditambah?

Gunakan aturan perkalian ketika kita harus memilih satu item dari setiap kelompok secara bersamaan untuk membentuk satu paket utuh.

Kembali ke analogi paket makanan: jika restoran menyediakan $5$ pilihan nasi, $4$ pilihan lauk, dan $3$ pilihan minuman, berapa banyak variasi paket yang bisa kamu buat? Karena kamu harus memilih nasi DAN lauk DAN minuman sekaligus agar paket makananmu lengkap, kamu mengalikan semua pilihan tersebut: $5 \times 4 \times 3 = 60$ racikan paket yang berbeda.

Di soal kita, targetnya adalah memperoleh bola dengan warna yang berbeda-beda. Karena diambil $3$ bola, komposisi yang wajib terpenuhi adalah:

• Mengambil $1$ dari $5$ bola merah

• DAN mengambil $1$ dari $4$ bola putih

• DAN mengambil $1$ dari $3$ bola biru

Kata hubung "DAN" menandakan bahwa ketiga syarat ini harus terjadi secara bersamaan dalam satu paket genggaman. Karena itu, variasinya kita kalikan:

$$\text{Variasi Target} = 5 \times 4 \times 3 = 60\text{ cara}$$

Jadi, kita sudah mengunci nilai untuk target, yaitu sebanyak $60$ titik sampel. Sekarang, kita perlu mencari ukuran semestanya.

Urutan Ngaruh Gak?

Pengambilan objek yang dilakukan sekaligus (bersamaan) tidak memperhatikan urutan, sehingga kita menggunakan konsep Kombinasi.

Coba perhatikan bedanya: dalam sebuah perlombaan lari, urutan finis sebagai juara 1, juara 2, atau juara 3 memberikan peran yang sangat berbeda (ini konsep Permutasi). Namun, bayangkan kamu mencelupkan tanganmu ke dalam kotak lalu meraup $3$ bola sekaligus dalam satu kepalan. Apakah urutan bola saat masuk ke genggamanmu dibedakan? Tentu tidak! Mendapatkan bola {Merah, Putih, Biru} sama saja dengan {Biru, Merah, Putih}. Posisi ketiga bola itu setara.

Kapan pun kamu membaca kata kunci "diambil sekaligus" atau "diambil bersamaan", itu adalah tanda pasti untuk memakai aturan Kombinasi.

Untuk menghitung ruang sampel (semesta), kita menghitung berapa banyak cara memilih $3$ bola acak dari seluruh bola yang ada di kotak:

• Total bola di kotak $= 5\text{ merah} + 4\text{ putih} + 3\text{ biru} = 12\text{ bola}$.

• Jumlah bola yang diambil $= 3\text{ bola}$.

Karena urutan tidak diperhatikan, banyaknya anggota semesta dituliskan dalam notasi kombinasi $3$ dari $12$, yaitu:

$$n(S) = C(12, 3)$$