Misteri Operasi Bilangan: Rasional vs Irasional

Membongkar Identitas 'Rasional'

Kamu menyebutkan masih suka bingung bedanya rasional dan irasional secara mendasar. Tenang, mari kita kupas pelan-pelan dari kata asalnya.

Pernah dengar kata rasio? Rasio itu artinya perbandingan. Nah, bilangan rasional adalah angka yang bisa ditulis sebagai perbandingan (pecahan) yang presisi dari dua bilangan bulat, bentuknya $\frac{a}{b}$.

Bayangkan kamu punya kue utuh. Kalau kamu bisa memotong kue itu secara adil ke dalam potongan yang terukur pasti oleh bilangan bulat (misal dipotong 2, dipotong 4, dipotong 10), maka bagian kue itu adalah bilangan rasional. Semua bilangan bulat seperti 3 juga rasional, karena bisa ditulis $\frac{3}{1}$.

Ciri utama dari bilangan rasional kalau diubah ke desimal adalah: ia bisa berhenti (seperti $\frac{1}{2} = 0.5$) atau berulang dengan pola yang teratur (seperti $\frac{1}{3} = 0.33333\dots$). Semuanya terukur rapi.

Sisi Liar Bilangan 'Irasional'

Kalau bilangan rasional itu rapi dan punya rasio yang pasti, maka bilangan irasional adalah antitesisnya (kebalikannya). Sesuai namanya, i-rasional artinya tidak rasional—ia tidak bisa ditulis sebagai pecahan dua bilangan bulat.

Desimal dari bilangan irasional itu berlanjut tanpa henti dan yang paling penting: TANPA ada pola yang berulang. Mereka mustahil dikurung dalam bentuk pecahan yang rapi.

Contoh paling klasik adalah $\pi$ (Pi). Angkanya $3.1415926535\dots$ berlanjut terus tanpa ada pola berulang sama sekali. Contoh lain adalah akar kuadrat dari bilangan yang bukan kuadrat sempurna, seperti $\sqrt{2}$. Tidak ada dua bilangan bulat $a$ dan $b$ yang kalau kamu bagi lalu dikuadratkan, hasilnya persis pas 2.

Rapi + Berantakan = ?

Sekarang kita bedah Pernyataan I dari soalmu tadi: Apa yang terjadi jika kita menjumlahkan bilangan Rasional (yang rapi) dengan bilangan Irasional (yang berantakan)?

Soal menyatakan hasilnya selalu Irasional. Kenapa begitu?

Mari kita pakai metode pembuktian melalui kontradiksi (metode yang membuktikan sesuatu dengan cara menantang hal kebalikannya). Coba kita andaikan terbalik: Andaikan $Rasional + Irasional = Rasional$.

Katakanlah $r$ itu rasional, $i$ itu irasional, dan $s$ itu hasil penjumlahannya (yang kita andaikan rasional). $r + i = s$

Kalau kita ubah persamaannya sedikit, kita dapat: $i = s - r$

Tunggu dulu! Kita tahu bahwa mengurangi sesama bilangan rasional ($s$ dikurangi $r$) pasti hasilnya rasional juga (seperti mengurangi pecahan dengan pecahan). Berarti persamaan di atas seolah bilang bahwa $i$ itu rasional. Padahal kita sudah sepakat di awal kalau $i$ itu irasional! Ini adalah sebuah kontradiksi.

Karena pengandaian kita menghasilkan hal yang mustahil, maka tebakan awal kita pasti salah. Jadi, hasil $Rasional + Irasional$ tidak mungkin rasional.

Mencampur sesuatu yang memiliki struktur teratur dengan sesuatu yang berantakan tak berujung, tidak akan bisa membuat semuanya kembali rapi. Hasil akhirnya pasti akan ikut berantakan.