Barisan Geometri: Persentase dan Makna S_n
Kenapa Naik 20% Artinya Dikali 1,2?
Pernah bingung kenapa kenaikan produksi 20% tiap bulan itu sama dengan deret geometri? Deret geometri itu kan tentang perkalian dengan angka yang tetap, sedangkan persentase terdengar seperti penjumlahan (tambah 20%).
Mari kita bedah apa yang sebenarnya terjadi di balik layar.
Katakanlah produksi bulan ini adalah $x$. Kalau bulan depan naik 20%, artinya produksi bulan depan adalah produksi awal ditambah kenaikannya. Secara matematika, kita bisa menulisnya seperti ini:
Dengan mengeluarkan variabel $x$ (proses pemfaktoran), penjumlahan tadi berubah wujud menjadi perkalian. Hasil akhirnya: setiap bulan, produksi sebelumnya selalu dikali 1,2.
Karena pengalinya selalu tetap (selalu dikali 1,2), maka ini adalah ciri utama dari deret geometri. Angka 1,2 inilah yang kita sebut sebagai rasio ($r$).
Sebuah mobil mengalami penyusutan harga sebesar 5% setiap tahunnya. Jika kita ingin menghitung harga mobil pada tahun-tahun berikutnya pakai konsep deret geometri, berapakah rasio ($r$) pengalinya?
- A. 0,05
- B. -0,05
- C. 0,95
- D. 1,05
Jawaban: C. 0,95
Penyusutan 5% artinya harganya tinggal 95% dari harga semula (100% - 5% = 95%). Secara rasio, ini sama dengan dikali 0,95 tiap tahunnya.
Persentase penurunan 5% setara dengan mengalikan nilai sebelumnya dengan 0,95.
Membaca Sandi Soal: Suku vs Total
Sekarang kita udah tau kalau ini deret geometri dengan $r = 1,2$ dan produksi awal $a = 1.000$. Tapi, di soal deret, jebakan yang paling sering bikin kepleset adalah salah nentuin apa yang sebenarnya ditanya: apakah suku ke-n ($U_n$) atau jumlah n suku pertama ($S_n$)?
Kuncinya ada di bahasa atau kata-kata yang dipakai dalam soal. Coba perhatikan grafik berikut yang membandingkan keduanya:
$U_n$ (Suku ke-n) itu menunjuk ke satu titik waktu tertentu. Misalnya, soal nanya: "Berapa produksi pada bulan ke-4?" Nah, ini berarti $U_4$. Kamu cuma menghitung jumlah barang yang diproduksi khusus di bulan April aja.
$S_n$ (Deret / Akumulasi) itu ngomongin total dari awal sampai titik tertentu. Soal kita nanya: "Total unit barang... selama 4 bulan pertama". Kata kunci total dan selama menandakan kita harus menjumlahkan produksi bulan ke-1, ke-2, ke-3, dan ke-4.
Manakah dari pertanyaan-pertanyaan berikut yang HARUS diselesaikan dengan rumus $S_n$ (bukan $U_n$)? Centang semua yang benar!
- Berapa seluruh gaji yang kamu kumpulkan selama 5 tahun bekerja?
- Berapa target lari harianmu pada hari ke-3 berlatih?
- Tentukan total curah hujan yang turun selama bulan Januari.
- Berapa jumlah penduduk desa A pada tahun 2025?
Jawaban: Berapa seluruh gaji yang kamu kumpulkan selama 5 tahun bekerja?; Tentukan total curah hujan yang turun selama bulan Januari.
Kata 'seluruh' dan 'selama' merujuk pada akumulasi (penjumlahan dari awal hingga akhir), sehingga itu adalah konsep Sn. Kata 'pada hari ke-3' atau 'tahun 2025' merujuk pada momen spesifik, yaitu konsep Un.
S_n adalah total akumulasi dari awal hingga waktu tertentu, sedangkan U_n adalah besaran diskrit pada satu waktu tersebut.
Eksekusi Rumus $S_n$ Tanpa Kepleset
Kita udah sepakat mencari $S_n$ dengan $a = 1000$, $r = 1,2$, dan $n = 4$. Karena $r > 1$, kita pakai format rumus ini supaya hasilnya nggak negatif:
Kalau kamu ngerjain manual, apalagi ketemu bilangan desimal berpangkat, kuncinya adalah kerja terurut dari dalam ke luar.
Biar kebayang alur substitusinya secara sistematis, coba masukin variabel di soal kita ke simulator di bawah ini dan perhatikan langkah demi langkah penemuannya: