Membongkar Teka-Teki Akar Tak Hingga

Menangkap Pola Tak Hingga

Pada pola tak hingga, bagian dalam yang berulang memiliki bentuk yang sama persis dengan keseluruhan pola tersebut.

Pernahkah kamu berdiri di antara dua cermin yang saling berhadapan? Kamu akan melihat bayangan lorong cermin yang terus berulang tanpa batas ke dalam, di mana setiap bayangan di dalamnya memuat cermin itu sendiri kembali.

Efek cermin tak hingga yang memantulkan pantulan dirinya sendiri secara terus-menerus tanpa batas Gambar: Elsamuko from Kiel, Germany, CC BY-SA 2.0 — Wikimedia Commons

Prinsip cermin tak hingga ini juga berlaku pada ekspresi matematika soal kita:

$$\sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}}$$

Jika kamu menutup tanda akar paling luar beserta angka $6 +$ yang pertama, perhatikan sisa ekspresi yang berada di dalamnya: polanya masih berbunyi $\sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}$ yang berjalan terus tanpa batas. Karena sifatnya tak hingga, mengambil atau membuang satu lapisan terluar sama sekali tidak mengubah wujud maupun nilainya.

Menyusun Persamaan dari Pola

Pola akar berulang dapat diubah menjadi persamaan sederhana dengan mengganti bagian berulang menggunakan satu variabel.

Karena kita tahu seluruh pola tersebut bernilai suatu bilangan real, mari kita sebut nilai keseluruhan bentuk tak hingga ini dengan simbol $x$:

$$x = \sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}}$$

Berdasarkan pengamatan cermin tak hingga sebelumnya, tumpukan akar di dalam tanda tambah tersebut tidak lain adalah nilai $x$ itu sendiri. Teknik mengganti bagian yang berulang dengan variabel aslinya ini dinamakan substitusi rekursif. Dengan teknik ini, kita bisa menuliskan hubungan sederhananya:

$$x = \sqrt{6 + x}$$

Membuka Gembok Akar

Menguadratkan kedua sisi persamaan adalah cara mengubah bentuk akar menjadi persamaan polinomial tanpa akar.

Saat ini variabel $x$ di ruas kanan masih terkunci di dalam tanda akar pada persamaan $x = \sqrt{6 + x}$. Kunci untuk membuka tanda akar kuadrat adalah dengan memangkatkan dua kedua belah ruas secara utuh:

$$(x)^2 = (\sqrt{6 + x})^2$$

Operasi kuadrat membebaskan bentuk aljabar di bawah tanda akar sehingga persamaan menjadi:

$$x^2 = 6 + x$$

Agar persamaan ini mudah diselesaikan, kita pindahkan seluruh suku ke ruas kiri untuk menyusunnya menjadi bentuk persamaan kuadrat standar:

$$x^2 - x - 6 = 0$$