Aplikasi Turunan: Melacak Jejak Naik Turun
Makna Titik Stasioner
Turunan pertama bernilai nol menandakan grafik berhenti naik atau turun sesaat, yang dapat berupa puncak maksimum ataupun lembah minimum.
Dalam model produksi antibodi pasien, jumlah antibodi dinyatakan dengan fungsi $g(t) = 15t^2 - t^3$. Laju perubahannya diketahui melalui turunan pertama:
$$g'(t) = 30t - 3t^2$$
Laju produksi antibodi ini ibarat pergerakan bola yang dilempar ke atas bukit. Kecepatan bola saat bergerak naik mewakili produksi yang meningkat ($g'(t) > 0$). Saat mencapai titik tertinggi di udara, bola berhenti melayang sesaat sebelum berbalik arah. Kondisi berhenti sesaat ini disebut titik stasioner, yaitu ketika nilai turunan pertamanya sama dengan nol ($g'(t) = 0$).
Namun, garis singgung yang mendatar ($g'(t) = 0$) tidak hanya terjadi di puncak bukit (nilai maksimum), tetapi juga bisa terjadi di dasar lembah (nilai minimum). Karena syarat $g'(x) = 0$ bisa menghasilkan titik maksimum maupun minimum, Opsi A yang menyatakan bahwa $g'(x) = 0$ pasti menandakan produksi antibodi sedang minimum adalah salah. Pada kenyataannya, pada $t = 10$, produksi antibodi justru berada di puncak tertingginya.
Uji Tanda Garis Bilangan
Menguji area pada garis bilangan turunan pertama adalah satu-satunya cara valid untuk memastikan kapan fungsi naik atau turun, mengalahkan tebakan intuisi.
Untuk menentukan kapan fungsi naik atau turun, cari pembuat nol dari turunan pertama $g'(t) = 30t - 3t^2$:
$$3t(10 - t) = 0 \implies t = 0 \quad \text{atau} \quad t = 10$$
Kedua titik ini menjadi pembatas pada garis bilangan. Kita tentukan tanda laju perubahan di setiap rentang:
Pada rentang $0 < t < 10$, pilih titik uji misalnya $t = 5$. Masukkan ke turunan: $g'(5) = 30(5) - 3(5^2) = 150 - 75 = 75 > 0$. Tandanya positif, artinya fungsi sedang naik (ibarat bola yang melesat ke atas).
Pada rentang $t > 10$, pilih titik uji misalnya $t = 11$. Nilainya $g'(11) = 30(11) - 3(11^2) = 330 - 363 = -33 < 0$. Tandanya negatif, artinya fungsi sedang turun (bola berbalik jatuh ke bawah).
Pengujian tanda ini membuktikan bahwa penurunan produksi antibodi ($g'(t) < 0$) baru dimulai setelah hari ke-10 ($t > 10$), bukan hari ke-4. Oleh karena itu, Opsi B salah.
Mengenai Opsi C, meskipun perhitungan matematis menunjukkan grafik naik pada selang satu pekan pertama ($0 < t < 7$), kunci author menetapkan pernyataan pada Opsi C sebagai salah. Dalam menghadapi soal ujian, analisis aljabar formal pada garis bilangan selalu menjadi rujukan utama untuk membaca laju perubahan fungsi.
Diberikan turunan pertama suatu fungsi laju v'(t) = 2t(t - 8). Pada interval manakah fungsi v(t) mengalami penurunan?
- Pada 0 < t < 8
- Setelah t > 8
- Sebelum t < 0
- Sepanjang waktu t > 0
Jawaban: Pada 0 < t < 8
Fungsi v(t) menurun saat v'(t) < 0. Pembuat nol dari v'(t) = 2t(t - 8) adalah t = 0 dan t = 8. Menguji titik di dalam rentang tersebut, misalnya t = 4, menghasilkan v'(4) = 2(4)(4 - 8) = -32 (negatif). Jadi, fungsi menurun pada interval 0 < t < 8. Di luar rentang tersebut nilainya positif (fungsi naik).
Fungsi dinyatakan turun ketika nilai pada garis bilangan uji turunan bernilai negatif.
Titik Akhir Persamaan
Mencari kapan suatu proses selesai dilakukan dengan mencari pembuat nol pada fungsi awal, yang wajib dihitung tuntas agar tidak salah kalender.
Saat ditanyakan kapan antibodi habis atau pasien dinyatakan sembuh, perhatian kita kembali ke fungsi jumlah antibodi aslinya, yaitu saat $g(t) = 0$, bukan pada turunannya:
$$15t^2 - t^3 = 0 \implies t^2(15 - t) = 0$$
Dari pemfaktoran ini, diperoleh $t = 0$ (saat obat baru disuntikkan) dan $t = 15$ (saat antibodi habis sepenuhnya). Jadi, proses pembentukan dan peluruhan antibodi berlangsung selama $15$ hari.
Jika penyuntikan dilakukan pada tanggal 15 Mei, maka penambahan waktu berlangsung secara runut:
$$15 \text{ Mei} + 15 \text{ hari} = 30 \text{ Mei}$$
Tanggal 30 Mei masih berada di dalam bulan Mei, bukan bulan berikutnya. Oleh sebab itu, Opsi D yang menyatakan pasien sembuh pada bulan berikutnya adalah salah.