Geometri dan Bentuk Akar

Menyederhanakan Akar

Bentuk akar yang angkanya besar dapat disederhanakan dengan memisahkan faktor kuadrat terbesarnya.

Bilangan yang berada di dalam bentuk akar tidak selalu berupa angka kaku yang tak bisa diotak-atik. Selama angka di dalam tanda akar memiliki faktor pembagi berupa kuadrat sempurna (seperti $4, 9, 16, 25$), faktor tersebut bisa "ditarik keluar" dari tanda akar menggunakan sifat perkalian akar:

$$\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$$

Diagram faktorisasi angka 12 menjadi 4 dan 3, di mana akar 4 ditarik keluar menjadi 2.

Tinjau ekspresi panjang tanah Pak Doni pada soal, yaitu suku $2\sqrt{12}$:

Angka $12$ dapat dipecah menjadi perkalian $4 \times 3$. Di sini, $4$ adalah bilangan kuadrat sempurna.
Pisahkan akarnya: $\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{4} \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$.
Kalikan dengan koefisien awal di depannya: $2\sqrt{12} = 2 \times (2\sqrt{3}) = 4\sqrt{3}$.

Penjumlahan dan Pengurangan Akar

Bentuk akar hanya dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika bagian akarnya sejenis.

Bayangkan bentuk akar $\sqrt{3}$ sebagai sebuah barang atau kotak. Jika kamu memiliki $4$ kotak lalu diberi tambahan $3$ kotak lagi yang sama persis, kamu memiliki total $7$ kotak. Logika yang sama berlaku untuk aljabar akar: kita hanya menjumlahkan atau mengurangkan koefisien pengali di depannya, sedangkan bagian akarnya tetap utuh sebagai penanda identitas.

Ilustrasi analogi tumpukan kotak-kotak kayu identik yang dikelompokkan dan digabungkan menjadi satu kesatuan rapi.

Dua akar baru bisa digabungkan jika keduanya merupakan suku sejenis, yaitu memiliki angka di dalam akar yang sama persis:

Panjang tanah:
$$p = 2\sqrt{12} + 3\sqrt{3} = 4\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = (4 + 3)\sqrt{3} = 7\sqrt{3}\text{ meter}$$
Dengan demikian, **Opsi A benar**.
Lebar tanah: Pecah faktor kuadratnya terlebih dahulu: $\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt{3}$ dan $\sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3}$.
$$l = \sqrt{75} - \sqrt{27} = 5\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = (5 - 3)\sqrt{3} = 2\sqrt{3}\text{ meter}$$
Maka, **Opsi B benar**.

Berapakah hasil penjumlahan dari ekspresi bentuk akar $5\sqrt{2} + 3\sqrt{2}$?

8√2
8√4
15√2
15√4

Jawaban: 8√2

Karena kedua suku memiliki akar yang sejenis yaitu √2, kita cukup menjumlahkan koefisien di luar akar: (5 + 3)√2 = 8√2. Menjumlahkan angka dalam akar menjadi √4 (opsi B) atau mengalikan koefisiennya (opsi C dan D) adalah kekeliruan konsep penjumlahan aljabar.

Hanya bentuk akar sejenis yang dapat dijumlahkan secara langsung dengan menjumlahkan koefisien luarnya.

Perkalian Akar pada Luas

Dalam perkalian bentuk akar, koefisien dikalikan dengan koefisien, dan angka dalam akar dengan angka dalam akar.

Berbeda dengan penjumlahan yang hanya bisa dilakukan pada suku sejenis, operasi perkalian dapat langsung dilakukan pada suku apa pun. Prinsip perkalian bentuk akar membagi prosesnya menjadi dua kelompok: bilangan di luar akar dikalikan dengan sesama bilangan di luar, dan bilangan di dalam akar dikalikan dengan sesama bilangan di dalam:

$$(a\sqrt{x}) \times (b\sqrt{y}) = (a \times b)\sqrt{x \times y}$$

Khusus ketika mengalikan akar dengan bilangan yang sama persis, tanda akarnya akan hilang: $\sqrt{3} \times \sqrt{3} = \sqrt{9} = 3$.

Mari kita hitung luas tanah Pak Doni menggunakan ukuran panjang dan lebar yang sudah disederhanakan:

$$\text{Luas} = p \times l = (7\sqrt{3}) \times (2\sqrt{3})$$

Kalikan koefisien luar: $7 \times 2 = 14$.
Kalikan bagian akar: $\sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3$.
Gabungkan hasil kalinya: $14 \times 3 = 42\text{ meter persegi}$.

Perhitungan ini membuktikan bahwa Opsi C benar.