Trik Aljabar: Menghentikan Desimal Tak Berhingga

Desimal yang Gak Pernah Berhenti

Wajar banget kalau kamu bingung harus mulai dari mana. Ngubah desimal biasa jadi pecahan itu gampang. Misalnya, angka $3{,}21$ pasti langsung kamu ubah jadi $\frac{321}{100}$. Kenapa dibagi 100? Karena ada dua angka di belakang koma yang udah berhenti sampai situ aja.

Tapi di soal ini, kita punya $3{,}212121\dots$ Tanda titik tiga ... di belakang itu bukan hiasan. Artinya, deretan angka 21 itu ngulang terus sampai tak terhingga! Karena angkanya gak pernah berhenti, kita gak bisa sekadar membaginya dengan 10, 100, atau 10.000. Penyebutnya bakal butuh angka nol sebanyak tak terhingga.

Dengan ngasih nama $x$, kita baru aja mengubah masalah "tebak-tebakan" jadi bentuk aljabar yang bisa diutak-atik pakai trik matematika pelan-pelan.

Nah, setelah diubah jadi $x$, apa yang harus kita lakukan ke si $x$ ini biar bentuk desimal tak terhingganya hilang?

Menggeser Koma untuk Menyamakan Ekor

Sekarang kita punya persamaan $x = 3{,}212121\dots$

Karena kita benci sama "sesuatu yang tak terhingga", target utama kita adalah membuang ekor desimal yang panjangnya gak habis-habis itu. Caranya? Kita butuh satu persamaan lagi yang punya ekor persis sama buat nanti diadu (dikurangi).

Coba perhatiin polanya. Berapa banyak digit angka yang diulang terus-menerus? Ternyata polanya adalah balok angka 21 — ada dua digit yang berulang.

Karena soal kita punya 2 digit berulang (21), kita kalikan persamaan awal dengan $100$. Efek dari dikali $100$ adalah koma desimalnya bergeser dua langkah ke kanan.

$100 \times x = 100 \times 3{,}212121\dots$ $100x = 321{,}212121\dots$

Lihat keajaibannya? Walau komanya digeser, ekor di belakang komanya tetap ...212121... karena angkanya memang gak pernah habis. Sekarang kita punya dua persamaan yang ekor desimalnya kembar identik.

Keajaiban Pengurangan

Di sinilah alasan kenapa kita bikin dua persamaan tadi. Ini adalah trik eliminasi paling keren di aljabar untuk nge-hack "ketakterhinggaan".

Susun kedua persamaan kita ke bawah. Persamaan yang lebih besar taruh di atas:

$100x = 321{,}212121\dots$ $x = 3{,}212121\dots$ ------------------------- (dikurang)

Bagian yang tak terhingga di belakang koma (212121...) itu nilainya persis sama di kedua baris. Kalau sesuatu dikurangi dengan dirinya sendiri, hasilnya pasti nol, sepanjang apa pun itu!

Dengan satu langkah pengurangan ini, bentuk desimal yang menyeramkan itu udah raib. Kita sekarang cuma berhadapan dengan persamaan aljabar linear yang super biasa.