Peluang 3 Dadu: Jalan Pintas Menghitung

Trik 'Setidaknya' Pakai Komplemen

Untuk mencari peluang "setidaknya satu", menghitung kejadian kebalikannya (peluang komplemen) jauh lebih efisien.

Bayangkan kamu sedang menjelajahi peta jalan raya. Jika ada puluhan rute rumit berbelit menuju suatu wilayah, daripada menghitung panjang tiap cabang jalan satu per satu, sering kali jauh lebih cepat jika kita menghitung satu-satunya jalan pintas yang tidak dilewati, lalu menguranginya dari total jalan.

Strategi ini sangat ampuh ketika kita melihat pernyataan (1): mencari peluang muncul setidaknya satu mata dadu bernilai $6$ dari $3$ dadu yang dilempar bersamaan. Menghitungnya secara langsung berarti harus mendata kasus:

• Muncul tepat $1$ angka enam,

• Muncul tepat $2$ angka enam, dan

• Muncul tepat $3$ angka enam.

Menghitung cabang-cabang itu satu per satu memakan waktu dan rentan terjadi hitung ganda (double counting).

Di sinilah peluang komplemen masuk sebagai jalan pintas. Kebalikan dari "setidaknya satu angka $6$" adalah "tidak ada angka $6$ sama sekali".

Setiap dadu memiliki $6$ sisi, sehingga ruang sampel untuk $3$ dadu adalah $n(S) = 6 \times 6 \times 6 = 216$. Jika angka $6$ tidak boleh muncul, masing-masing dadu hanya memiliki $5$ pilihan angka (yaitu angka $1, 2, 3, 4, 5$).

Karena total peluang selalu $1$, maka peluang muncul setidaknya satu angka $6$ adalah:

Logika Paritas pada Jumlah

Jumlah dari tiga bilangan bulat bernilai ganjil jika banyaknya bilangan ganjil yang dijumlahkan ada sebanyak ganjil.

Mari kita selidiki pernyataan (2): jumlah ketiga mata dadu adalah bilangan ganjil. Sering kali ada keraguan bahwa jumlah ganjil lebih jarang muncul dibanding genap. Padahal jika kita melihat konsep paritas (sifat ganjil atau genap suatu bilangan), keadaannya seimbang sempurna.

Sebuah dadu adil memiliki $3$ angka ganjil ($1, 3, 5$) dan $3$ angka genap ($2, 4, 6$). Artinya, peluang muncul angka ganjil ($G$) pada satu lemparan adalah $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$, dan peluang genap ($E$) juga tepat $\frac{1}{2}$.

Agar total penjumlahan $3$ dadu bernilai ganjil, kita membutuhkan:

1. Ketiga dadu bernilai ganjil ($G + G + G = \text{Ganjil}$), atau

2. Satu dadu ganjil dan dua dadu genap ($G + E + E = \text{Ganjil}$).

Karena peluang tiap dadu bernilai $G$ atau $E$ adalah $\frac{1}{2}$, kita bisa menghitung peluang masing-masing skenario:

• Kasus $GGG$: hanya ada $1$ urutan, peluangnya $\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$.

• Kasus satu ganjil dan dua genap: ada $3$ kemungkinan susunan posisi ($GEE$, $EGE$, $EEG$), sehingga peluangnya $3 \times \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{3}{8}$.

Kombinasi Angka Kembar

Menghitung kejadian tepat dua mata dadu sama butuh pemilihan angka yang kembar, angka yang berbeda, dan urutan posisinya.

Pernyataan (3) menguji peluang muncul tepat dua mata dadu bernilai sama. Di persimpangan kombinatorika, kesalahan yang paling sering terjadi adalah menghitung angka kembar tanpa memperhatikan dadu mana yang memuat angka pembeda.

Untuk menyusun kejadian ini secara rapi tanpa ada yang terlewat atau terhitung dobel, kita bagi proses pemilihannya ke dalam tiga tahap:

1. Memilih nilai untuk angka kembar: Ada $6$ pilihan angka dadu ($1$ sampai $6$) yang bisa dijadikan pasangan kembar.

2. Memilih nilai untuk angka pembeda: Dari $5$ sisa angka yang belum terpilih, ambil $1$ angka berbeda agar nilainya tidak menjadi kembar tiga ($5$ pilihan).

3. Menentukan susunan posisi: Angka pembeda bisa berada di dadu pertama, dadu kedua, atau dadu ketiga. Banyak cara menyusunnya adalah: $$ \frac{3!}{2!} = 3\text{ posisi} $$

Dengan mengalikan ketiga langkah tersebut, banyaknya kejadian yang memenuhi syarat adalah:

Dari seluruh ruang sampel $n(S) = 216$, peluangnya adalah: