Peluang Kejadian Saling Bebas: Memecah Kasus

Ujian Matematika & Fisika

Bayangkan kamu sedang menghadapi dua ujian di hari yang sama: Matematika dan Fisika. Peluangmu lulus Matematika adalah $0{,}6$ (atau $60$), sedangkan peluangmu lulus Fisika adalah $0{,}4$ (atau $40$).

Apa arti kedua ujian ini saling bebas? Artinya, hasil ujian Matematika sama sekali tidak memengaruhi hasil ujian Fisika. Mendapat nilai bagus di Matematika tidak membuat soal Fisika mendadak jadi lebih mudah ataupun lebih sulit.

Bagaimana cara mencari peluang kamu lulus keduanya (lulus Matematika DAN lulus Fisika)?

Secara visual, bayangkan sebuah persegi utuh berukuran $1 \times 1$ yang mewakili seluruh kemungkinan ($100$). Sisi vertikal dibagi menjadi area kelulusan Matematika ($0{,}6$), dan dari area $0{,}6$ tersebut, kamu hanya mengambil bagian yang juga lulus Fisika ($0{,}4$).

Dalam peluang kejadian saling bebas, kata "DAN" berarti kita mencari irisan area melalui operasi perkalian:

Sekarang mari kita uji Pernyataan (1) dari soal:

Pernyataan (1) menyatakan peluangnya adalah $0{,}24$. Maka, Pernyataan (1) Benar!

Seseorang mengikuti ujian Kimia dengan peluang lulus 0,50 dan ujian Biologi dengan peluang lulus 0,20. Jika hasil kedua ujian saling bebas, berapa peluang ia lulus kedua ujian tersebut?

  • 0,70 karena peluang kedua kejadian dijumlahkan jika terjadi pada hari yang sama
  • 0,10 karena selisih peluang antara kedua ujian adalah 0,50 dikurangi 0,20
  • 0,10 karena kedua ujian saling bebas sehingga peluangnya dikalikan (0,50 × 0,20)
  • 0,35 karena nilai rata-rata dari kedua peluang kelulusan adalah (0,50 + 0,20) / 2

Jawaban: 0,10 karena kedua ujian saling bebas sehingga peluangnya dikalikan (0,50 × 0,20)

Karena kedua ujian saling bebas, peluang lulus keduanya (kejadian A DAN B) diperoleh dengan mengalikan peluang masing-masing: P(A ∩ B) = 0,50 × 0,20 = 0,10.

Perhitungan peluang gabungan dua kejadian saling bebas menggunakan aturan perkalian P(A ∩ B) = P(A) × P(B).

Kalau Gak Lulus, Peluangnya Berapa?

Setiap kali kamu mengikuti ujian, hanya ada dua kemungkinan hasil: lulus atau gagal. Karena tidak ada opsi lain di luar keduanya, total peluang kepastian adalah $1$ (atau $100$).

Jika peluang lulus Matematika adalah $0{,}6$ ($60$), maka peluang kamu tidak lulus (gagal) tinggal sisanya:

Prinsip yang sama berlaku untuk Fisika. Jika peluang lulus Fisika adalah $0{,}4$ ($40$), maka peluang gagalnya adalah:

Dua diagram batang persentase yang menunjukkan pembagian peluang lulus dan gagal untuk Matematika dan Fisika.

Diagram batang di atas memperlihatkan komplemen dari masing-masing kejadian. Saling bebas pada kelulusan juga membuat kondisi kegagalannya saling bebas.

Sekarang, kita bisa menguji Pernyataan (2): "Peluang kedua tim tidak memenangkan pertandingan (keduanya gagal) adalah 0,24".

Karena kejadian saling bebas dan kita mencari peluang Gagal Matematika DAN Gagal Fisika, kalikan kedua nilai komplemen tersebut:

Hasil perhitungannya tepat $0{,}24$. Artinya, Pernyataan (2) Benar!

Dua penembak menembak sasaran yang sama secara independen. Peluang penembak pertama tepat sasaran adalah 0,7 dan penembak kedua adalah 0,8. Berapa peluang kedua penembak tersebut sama-sama meleset?

  • 0,08 karena peluang kedua penembak mengenai sasaran adalah 0,92
  • 0,06 karena peluang keduanya meleset adalah (1 - 0,7) × (1 - 0,8) = 0,3 × 0,2
  • 0,50 karena selisih total probabilitas dengan peluang penembak pertama adalah 1 - 0,7
  • 0,24 karena hasil kali peluang mengenai sasaran dikurangi satu menghasilkan 0,56 - 1

Jawaban: 0,06 karena peluang keduanya meleset adalah (1 - 0,7) × (1 - 0,8) = 0,3 × 0,2

Peluang penembak pertama meleset adalah 1 - 0,7 = 0,3. Peluang penembak kedua meleset adalah 1 - 0,8 = 0,2. Karena tembakan keduanya saling bebas, peluang keduanya meleset adalah 0,3 × 0,2 = 0,06.

Peluang komplemen dihitung dengan 1 dikurangi peluang kejadian, dan peluang bersama dari komplemen dua kejadian saling bebas dihitung dengan mengalikan masing-masing komplemennya.

Jebakan Kata 'Tepat Satu'

Pada Pernyataan (3), tertulis: "Peluang tepat satu tim memenangkan pertandingan adalah 0,76". Sekilas angka $0{,}76$ tampak meyakinkan. Dari mana angka itu datang?

Sering kali seseorang menghitung $1 - 0{,}24 = 0{,}76$, mengira bahwa lawan dari "keduanya lulus" adalah "tepat satu yang lulus". Ini adalah miskonsepsi paling umum dalam peluang gabungan!

Lawan dari "keduanya lulus" sebenarnya adalah "tidak keduanya lulus". Nah, kondisi "tidak keduanya lulus" mencakup dua kemungkinan berbeda:

  1. Tepat satu ujian yang lulus.

  2. Gagal di kedua ujian sekaligus.

Diagram pohon probabilitas dua cabang menunjukkan empat kemungkinan hasil gabungan ujian Matematika dan Fisika.

Diagram pohon di atas menunjukkan seluruh $4$ ruang hasil yang mungkin terjadi ketika kamu menempuh dua ujian:

Karena itulah, untuk mencari peluang tepat satu lulus, kita tidak bisa langsung mengurangkan $1 - 0{,}24$. Kita wajib memecahnya menjadi dua skenario yang saling terpisah (mutually exclusive):