Barisan Aritmetika: Mengapa (n-1)?

Rahasia Loncatan (n-1)

Untuk mencapai suku ke-$n$ dari titik awal (suku ke-$1$), kita hanya perlu melompat sebanyak $(n-1)$ kali.

Bayangkan kamu sedang berdiri menaiki anak tangga. Posisi pijakan pertama tempatmu berdiri adalah suku pertama, yaitu $a$. Ketika kamu ingin naik ke anak tangga ke-$2$, kamu hanya butuh $1$ kali loncatan. Saat ingin ke anak tangga ke-$3$, kamu butuh $2$ kali loncatan. Dari sini terlihat polanya: kamu tidak melompat sebanyak urutan tujuanmu, melainkan selalu satu kali lebih sedikit karena kamu sudah berdiri di tangga pertama sejak awal!

Secara matematis, jika setiap anak tangga memiliki tinggi loncatan sebesar beda ($b$), maka nilai pada urutan ke-$n$ dirumuskan sebagai:

$$U_n = a + (n - 1)b$$

Misalnya, pada barisan ruang kerja di lantai kantor dengan pola $4, 7, 10, \dots$ yang memiliki pijakan awal $a = 4$ dan loncatan $b = 3$. Untuk mengetahui isi lantai pada urutan ke-$4$, kita cukup melompat sebanyak $4 - 1 = 3$ kali:

$$U_4 = 4 + (4 - 1) \times 3 = 4 + 3(3) = 13$$

Sebuah barisan memiliki suku awal 5. Setiap melangkah ke suku berikutnya selalu bertambah 2. Berapa kali kita harus menambahkan angka 2 untuk mengetahui nilai suku ke-10?

9 kali, karena dari suku pertama hanya perlu melompat sembilan langkah
10 kali, karena jumlah loncatan dianggap sama dengan urutan suku tujuannya
11 kali, karena menghitung loncatan dengan menambahkan satu langkah tambahan
5 kali, karena menyamakan jumlah loncatan dengan nilai suku pertamanya

Jawaban: 9 kali, karena dari suku pertama hanya perlu melompat sembilan langkah

Untuk mencapai suku ke-10 dari suku pertama ($a$), kita hanya perlu melompat sebanyak $10 - 1 = 9$ kali. Jadi angka 2 ditambahkan sebanyak 9 kali. Pilihan 10 kali keliru karena menganggap loncatan sama dengan nomor posisi tujuan tanpa memperhitungkan bahwa di suku pertama kita sudah berdiri di sana. Pilihan 11 kali keliru menambahkan ($n+1$), dan 5 kali keliru menukar dengan nilai suku pertama ($a$).

Jumlah penambahan beda (b) dari suku pertama ke suku ke-n selalu sebanyak (n-1) kali.

Memilah Pola Lantai

Dalam soal cerita gabungan, seringkali kita harus memisahkan urutan aslinya menjadi dua atau lebih barisan yang berbeda.

Pada gedung 50 lantai di soal kita, lantai 1 difungsikan sebagai lobby. Sisa lantainya dibagi menjadi dua fungsi berbeda yang berselang-seling: lantai genap khusus untuk ruang kerja, sedangkan lantai ganjil khusus untuk ruang rapat. Karena kedua jenis ruangan ini bertambah dengan pola dan kecepatan yang berbeda, kita tidak bisa langsung memasukkan nomor fisik lantai ke dalam rumus $U_n$.

Diagram pemetaan lantai gedung berselang-seling ke dua barisan terpisah untuk ruang kerja dan ruang rapat

Berikut adalah cara memetakan nomor lantai fisik ke indeks urutan barisan ($n$):

Lantai Genap (Ruang Kerja): Lantai-lantainya adalah lantai $2, 4, 6, \dots$ Untuk mencari urutan ke-$n$, kita cukup membagi nomor lantainya dengan $2$. Maka untuk Lantai 32, urutan barisannya adalah:
$$n = \frac{32}{2} = 16$$
Jadi, lantai 32 adalah suku ke-16 ($U_{16}$) dari barisan ruang kerja.
Lantai Ganjil (Ruang Rapat): Ruang rapat dimulai dari lantai 3, lalu 5, 7, $\dots$ (karena lantai 1 adalah lobby). Nomor lantai ganjil ini mengikuti bentuk $2m + 1$, di mana $m$ adalah urutan sukunya. Untuk Lantai 47, kita tentukan nilai urutannya:
$$2m + 1 = 47 \implies 2m = 46 \implies m = 23$$
Jadi, lantai 47 adalah suku ke-23 ($U_{23}$) dari barisan ruang rapat.

Pola lantai genap (2, 4, 6, ...) akan dihitung dengan rumus barisan aritmetika. Tentukan status kebenaran dari masing-masing pernyataan berikut mengenai penentuan urutan ($n$):

Lantai nomor 20 merupakan urutan ke-20 dalam barisan lantai genap. — Salah
Lantai nomor 50 merupakan urutan ke-25 dalam barisan lantai genap. — Benar

Pernyataan 1 Salah: Lantai nomor 20 berada pada barisan lantai genap (2, 4, 6, ...), sehingga urutan sukunya adalah n = 20 / 2 = 10, bukan ke-20. Pernyataan 2 Benar: Lantai nomor 50 pada barisan genap adalah urutan n = 50 / 2 = 25.

Menentukan indeks urutan (n) yang benar dari sebuah barisan berselang-seling.

Eksekusi Menghitung Selisih

Setelah urutan dan rumus dipahami, pastikan membaca ulang pertanyaan akhir soal agar tidak terjebak pada jawaban antara.

Mari kita hitung jumlah ruangan pada masing-masing lantai target:

Ruang Kerja di Lantai 32 ($n = 16$): Pola ruang kerja memiliki suku pertama $a = 4$ dan beda $b = 3$.
$$U_{16} = 4 + (16 - 1) \times 3 = 4 + 45 = 49$$
Ruang Rapat di Lantai 47 ($n = 23$): Pola ruang rapat memiliki suku pertama $a = 2$ dan beda $b = 1$.
$$U_{23} = 2 + (23 - 1) \times 1 = 2 + 22 = 24$$

Yang ditanyakan pada soal adalah selisih jumlah ruangan antara kedua lantai tersebut:

$$\text{Selisih} = |24 - 49| = 49 - 24 = 25$$

Hasil ini mengonfirmasi bahwa Opsi C ($25$) adalah jawaban yang tepat.