Komposisi Fungsi: Rantai Mesin Output ke Input

Prinsip Estafet Komposisi Fungsi

Dalam komposisi fungsi bertingkat, output dari satu fungsi langsung menjadi input bagi fungsi berikutnya.

Notasi komposisi $(f \circ g \circ h)(x)$ sebenarnya memiliki arti yang sama dengan bentuk bersarangnya, yaitu $f(g(h(x)))$. Untuk memahami cara kerjanya, bayangkan sebuah mesin produksi pabrik bertingkat.

Ilustrasi tiga mesin pabrik bertingkat yang terhubung ban berjalan estafet tanpa teks.

Bahan baku awal ($x = 2$) pertama kali dimasukkan ke Mesin 1 (fungsi $h$). Hasil olahan atau output dari Mesin 1 tidak dibuang ke luar, melainkan langsung dialirkan melalui ban berjalan menjadi bahan baku atau input bagi Mesin 2 (fungsi $g$). Selanjutnya, giliran hasil olahan Mesin 2 yang dijadikan input bagi Mesin 3 (fungsi $f$).

Proses evaluasi berurutan ini selalu bergerak dari kurung terdalam (paling kanan) melangkah setahap demi setahap keluar (ke kiri).

Misalkan dari pembacaan grafik diketahui $h(4) = -2$, serta nilai $g(4) = 5$ dan $g(-2) = 7$. Tentukan kebenaran dari pernyataan berikut mengenai evaluasi $g(h(4))$:

  • Nilai $g(h(4))$ adalah $7$ karena input baru untuk $g$ adalah $-2$. — Benar
  • Nilai $g(h(4))$ adalah $5$ karena fungsi $g$ selalu menggunakan input awal $4$. — Salah

Pernyataan 1 Benar: Karena h(4) = -2, maka output -2 menjadi input baru untuk g, sehingga kita mencari g(-2) = 7. Pernyataan 2 Salah: Fungsi komposisi g(h(4)) tidak menggunakan input awal 4 untuk mengevaluasi g, melainkan mengevaluasi g pada hasil output h(4). Menggunakan input awal 4 adalah bentuk miskonsepsi modular.

Output grafik pertama dibaca sebagai input (absis) untuk grafik berikutnya.

Langkah 1: Mencari Nilai h(2)

Langkah pertama evaluasi dimulai dari fungsi paling dalam (kanan) dengan melihat koordinat grafik pada sumbu X.

Pada ekspresi $f(g(h(2)))$, sasaran pertama kita adalah mencari nilai dari $h(2)$. Mari kita perhatikan grafik kurva parabola berwarna hijau yang mewakili fungsi $h$.

Grafik kurva parabola fungsi h x dengan garis bantu dari absis 2 menuju kurva lalu ke ordinat 1.

Untuk membaca grafiknya:

  1. Temukan angka $2$ pada sumbu horizontal (sumbu X) sebagai input.

  2. Tarik garis vertikal ke atas sampai menyentuh kurva hijau fungsi $h$.

  3. Dari titik pertemuan tersebut, lihat lurus ke kiri menuju sumbu vertikal (sumbu Y) untuk membaca output-nya.

Tepat di koordinat tersebut, garis menyentuh sumbu Y pada angka $1$. Dengan demikian, kita memperoleh nilai $h(2) = 1$.

Langkah 2: Menjadikan Output h(2) sebagai Input g

Output dari fungsi pertama digeser menjadi nilai sumbu X untuk dievaluasi pada fungsi kedua.

Dari tahap sebelumnya, mesin pertama telah menghasilkan nilai keluaran $h(2) = 1$. Sekarang, angka $1$ ini mengalami pergantian peran: nilai ini bukan lagi sekadar hasil olahan pada sumbu Y, melainkan berubah menjadi input baru (nilai sumbu X) yang dimasukkan ke fungsi $g$. Artinya, kita perlu mengevaluasi $g(1)$.

Sekarang alihkan perhatian ke grafik garis lurus biru yang menyatakan fungsi $g$:

  1. Letakkan angka $1$ pada sumbu X sebagai input baru.

  2. Tarik garis vertikal ke atas hingga menyentuh garis biru fungsi $g$.

  3. Baca nilai ordinat pada sumbu Y, yang tepat berada di angka $2$.

Dari pembacaan ini, didapatkan bahwa $g(1) = 2$. Rantai kedua berhasil diselesaikan!