Mencacah Angka Secara Sistematis

Tiga Kotak Kosong

Banyak dari kita langsung mikir pusing pas ditanya "bilangan kurang dari $1.000$". Kita sering kepikiran kalau kita harus misahin hitungan jadi tiga kelompok: bilangan 1-digit (kayak $5$), bilangan 2-digit (kayak $23$), dan bilangan 3-digit (kayak $140$).

Tapi, kalau gitu caranya, hitungan kita bakal panjang banget. Daripada pusing membedakan ketiganya, ada satu konsep sederhana yang bikin hidup jauh lebih gampang: "padding" angka nol di depan.

Kebayang kan kalau kita masukkin password koper atau gembok? Angka $5$ itu sebenernya $005$, dan angka $23$ itu $023$.

Dengan menyamakan formatnya kayak di atas, soal ini bukan lagi tentang "cari bilangan 1-digit, 2-digit, dan 3-digit yang jumlahnya $5$".

Sekarang, kita udah mengubah soalnya jadi sesuatu yang jauh lebih teratur: "Berapa banyak susunan 3 angka (yang boleh memuat nol di depan) yang kalau dijumlahkan hasilnya pas $5$?"

Dengan begini, kita udah siap buat ngitung kasus-kasusnya secara sistematis di halaman berikutnya.

Mencari 'Bahan Baku' Angka

Sekarang kita udah punya $3$ slot kosong yang bakal diisi angka-angka yang totalnya $5$. Masalah utamanya pas kita lagi ngerjain soal tipe pencacahan (kombinatorika): gampang banget ada hitungan yang kelewatan atau terdobel. Misalnya, kita kepikiran $0-1-4$, terus nanti kepikiran lagi $4-1-0$.

Solusinya? Kita kumpulin dulu 'bahan baku' atau kelompok angkanya tanpa mempedulikan urutan posisinya. Dalam matematika, ini sejalan dengan konsep integer partitions (partisi bilangan). Caranya, kita urutkan mulai dari angka penyusun yang paling besar sampai yang paling kecil.

Coba perhatikan simulasi pemecahan angka di bawah ini biar kebayang!

Nah, dengan memecah mulai dari angka terbesar ke terkecil secara terstruktur, kita berhasil mendata 5 kelompok bahan baku yang pasti unik:

1. $5, 0, 0$

2. $4, 1, 0$

3. $3, 2, 0$

4. $3, 1, 1$

5. $2, 2, 1$

Perhatikan bahwa kita nggak memasukkan angka $3$ di kasus angka pertama $2$ karena kelompok $2, 3, 0$ udah sama dengan $3, 2, 0$. Begitu kelompok-kelompok angkanya udah dikunci, kita baru siap buat merakit susunannya!

Merakit Posisi Tanpa Dobel

Sekarang bahan baku kita udah komplit. Tiap bahan baku terdiri dari $3$ buah angka yang harus kita sebar ke $3$ slot (Ratusan, Puluhan, Satuan). Tapi, apakah semua bahan baku menghasilkan jumlah susunan yang sama?

Tentu tidak! Semuanya tergantung pada apakah ada angka yang kembar di dalam kelompok tersebut. Ini masuk ke dalam konsep Permutasi dengan Unsur yang Sama.

Biar lebih jelas, cobain mesin pengacak di bawah ini dan lihat bedanya!

Lihat bedanya kan?

• Untuk bahan baku dengan 3 angka berbeda seperti $4, 1, 0$ dan $3, 2, 0$, karena nggak ada yang kembar, susunannya adalah $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ susunan.

• Untuk bahan baku dengan 2 angka kembar seperti $5, 0, 0$, $3, 1, 1$, dan $2, 2, 1$, rumus putarannya harus dibagi biar nggak dobel. Jadinya $\frac{3!}{2!} = 3$ susunan.

Dengan menghitung putaran setelah mendata bahan bakunya, kamu bebas dari risiko menghitung angka yang sama dua kali!