Visualisasi & Analisis Daerah Pertidaksamaan

Parabola Biasa: Atas vs Bawah

Untuk mulai membedah soal tadi, kita cek pertidaksamaan yang pertama dulu: $y \leq -x^2 + 4x$. Ini adalah parabola vertikal klasik yang sering kamu temui.

Karena ada tanda negatif di depan $x^2$, kurva parabolanya terbuka ke bawah (seperti mangkuk terbalik). Titik puncaknya ada di koordinat $(2, 4)$ dan dia memotong sumbu-$x$ di $(0,0)$ dan $(4,0)$. Tapi pertanyaannya, daerah mana yang harus kita arsir?

Gak perlu bingung menghafal. Coba bayangkan grafiknya:

Kalau masih ragu, kamu selalu bisa uji titik. Ambil titik yang jelas-jelas ada di bawah parabola, misalnya $(2, 0)$. Masukkan ke pertidaksamaan: $0 \leq -(2)^2 + 4(2)$ $0 \leq -4 + 8$ $0 \leq 4$ (Benar!) Berarti benar bahwa daerah arsirannya adalah yang ada di bawah parabola tersebut.

Berdasarkan logika sumbu-y yang baru kita pelajari, jika kamu menjumpai pertidaksamaan y > x^2, daerah mana yang harus diarsir?

  • A. Di bawah kurva
  • B. Di atas kurva
  • C. Di dalam lengkungan kurva (kiri-kanan)
  • D. Di luar kurva

Jawaban: B. Di atas kurva

Pada sumbu-y, nilai yang lebih besar berada di posisi atas. Jadi y > f(x) berarti daerah yang diarsir adalah di atas kurva fungsi tersebut.

Tanda > pada y berarti daerah di atas kurva.

Parabola Tidur: Kanan vs Kiri

[diagnosa] Waktu ngerjain soal diagnostik, kamu sempat menyebut kalau yang paling bikin ragu adalah nentuin batas arsiran untuk parabola horizontal $x \geq y^2 - 4y$, apakah di kanan atau di kirinya. Wajar banget, karena mata kita lebih terbiasa dengan parabola vertikal (atas-bawah)!

[relevansi] Sesuai gaya belajarmu yang suka visualisasi bertahap di bidang Kartesius, mari kita kupas parabola "tidur" ini.

Persamaan $x = y^2 - 4y$ membentuk parabola horizontal. Karena koefisien $y^2$ positif, kurvanya terbuka ke kanan. Puncaknya ada di $(-4, 2)$ dan dia memotong sumbu-$y$ di $(0,0)$ dan $(0,4)$.

Lalu bagaimana menerjemahkan tanda $x \geq \dots$? Sama seperti logika sumbu-$y$ tadi, sekarang kita pakai logika sumbu-$x$. Di sumbu-$x$, angka yang lebih besar berada di sebelah KANAN. Jadi, $x \geq f(y)$ berarti daerah arsirannya ada di sebelah KANAN kurva.

Biar makin yakin, coba geser-geser titik uji di simulasi ini:

Kalau kita uji titik $(0,2)$: $0 \geq (2)^2 - 4(2)$ $0 \geq 4 - 8$ $0 \geq -4$ (Benar!) Titik $(0,2)$ posisinya ada di kanan kurva, mengonfirmasi bahwa seluruh area di kanan kurva adalah daerah penyelesaiannya.

Jika kamu diberi pertidaksamaan x < y^2 + 1, daerah mana yang harus diarsir sebagai penyelesaian?

  • A. Atas kurva
  • B. Bawah kurva
  • C. Kiri kurva
  • D. Kanan kurva

Jawaban: C. Kiri kurva

Sumbu-x membaca posisi horizontal (kiri-kanan). Nilai yang lebih kecil (<) berada di sebelah kiri kurva batasnya.

Tanda < pada x berarti daerah di kiri kurva.

Irisan Daerah & Titik Potong Semu

Daerah $R$ pada soal adalah irisan dari kedua arsiran kita tadi: daerah di bawah kurva pertama DAN di kanan kurva kedua. Bagian yang tumpang tindih inilah yang jadi himpunan solusi utama.

[diagnosa] Di Pernyataan I, kamu sempat menduga $(3,3)$ adalah titik potong karena kamu langsung mensubstitusikan $x=3$ dan mendapatkan $y=3$. Hati-hati, ini jebakan yang sangat umum!

Mari kita cek titik $(3,3)$ ke kurva kedua ($x = y^2 - 4y$): Jika kita masukkan $y = 3$, maka: $x = (3)^2 - 4(3)$ $x = 9 - 12$ $x = -3$

Artinya, saat $y=3$, kurva kedua berada di $x = -3$, bukan $x = 3$. Kurva kedua melewati $(-3, 3)$, bukan $(3,3)$.

Kesimpulannya: untuk mencari titik potong secara valid, kamu bisa mensubstitusikan persamaan 1 ke persamaan 2 (atau sebaliknya), tapi hasil yang didapat hukumnya wajib dicek silang (cross-check) ke dua persamaan aslinya untuk menghindari "titik palsu" (extraneous solutions).

Pilih pernyataan yang tepat mengenai cara memvalidasi sebuah titik potong dari dua kurva:

  • Mendapatkan nilai y dari kurva pertama dengan memasukkan x sudah mutlak membuktikan titik tersebut adalah titik potong.
  • Titik potong yang valid harus menghasilkan pernyataan matematika yang benar saat disubstitusikan ke KEDUA kurva yang saling memotong.

Jawaban: Titik potong yang valid harus menghasilkan pernyataan matematika yang benar saat disubstitusikan ke KEDUA kurva yang saling memotong.

Mengecek ke satu kurva saja bisa menghasilkan titik yang tidak dilewati kurva lainnya (titik semu/extraneous). Substitusi harus dilakukan ke kedua persamaan untuk memastikan keduanya bernilai benar.

Titik potong adalah titik yang memenuhi semua persamaan pembentuknya secara serentak.