Sifat Kepadatan Bilangan: Konsep Zoom Tanpa Batas
Celah di Garis Penggaris
Saat kita mulai belajar berhitung, kita dikenalkan dengan urutan yang sangat pasti: 1, 2, 3, 4, dan seterusnya. Ini membuat otak kita terbiasa dengan gagasan bahwa angka selalu punya "tetangga langsung" atau "angka berikutnya". Setelah angka 1, pastilah angka 2. Tapi, apakah benar garis bilangan itu sepenuhnya terisi penuh oleh angka-angka ini?
Coba bayangkan kamu sedang memegang sebuah penggaris fisik.
Gambar: Samuel Ho, CC BY-SA 3.0 — Wikimedia Commons
Kalau kamu perhatikan, di antara garis tebal angka 1 dan garis tebal angka 2, tidak ada garis tebal angka bilangan bulat lainnya. Kalau kita mencari bilangan bulat $c$ yang posisinya berada di tengah-tengah 1 dan 2 ($1 < c < 2$), kita tidak akan menemukannya. Inilah yang di dalam matematika disebut sebagai himpunan yang sifatnya diskrit atau terputus-putus.
Ruang kosong atau celah di antara bilangan bulat inilah yang memberikan tempat bagi jenis-jenis bilangan yang lain untuk masuk (seperti pecahan, desimal, atau bentuk akar). Pertanyaannya: apakah bilangan-bilangan lain itu juga memiliki sifat bolong-bolong seperti bilangan bulat, atau malah rapat sempurna tanpa batas? Mari kita selidiki di halaman berikutnya.
Jebakan Angka 0,1 dan 0,2
Karena terbiasa dengan bilangan bulat, kita sering kali mengaplikasikan "perasaan" diskrit tersebut ke bilangan desimal atau pecahan. Misalnya, saat ditanya apakah ada bilangan di antara $0,1$ dan $0,2$, mungkin awalnya insting kita berkata: "Nggak ada dong, kan selisihnya cuma $0,1$ dan itu udah paling mepet."
Padahal, bilangan desimal tidak punya batas selisih terkecil. Kita tidak punya aturan yang membatasi berapa jumlah digit yang boleh ada di belakang koma.
Kalau kita zoom in ke ruang antara $0,1$ dan $0,2$, sebenarnya kita sedang melihat jarak dari $0,10$ ke $0,20$. Di tepat tengah-tengahnya, kita bisa langsung menemukan $0,15$.
Masih belum puas? Mari kita zoom lagi di antara $0,11$ dan $0,12$. Cukup ubah pandangannya menjadi rentang $0,110$ sampai $0,120$. Maka, simsalabim, muncullah angka $0,115$. Proses ini bisa kamu lakukan terus-menerus sampai tak terhingga hanya dengan menambah digit di belakang koma. Himpunan bilangan ini sangatlah rapat, sehingga tidak ada yang namanya "bilangan pecahan yang bertetanggaan langsung". Di antara dua buah pecahan/desimal apa pun, sekecil apa pun selisihnya, selalu ada bilangan lain di tengahnya.
Berdasarkan sifat kepadatan bilangan desimal di atas, manakah pernyataan berikut yang PALING TEPAT?
- A. Di antara 1,99 dan 2,00 tidak ada angka lain lagi karena 1,99 sudah maksimal.
- B. Angka yang berada paling dekat dan sebelum bilangan 5 adalah 4,99.
- C. Berapa pun banyaknya digit di belakang koma pada dua bilangan berbeda, kita selalu bisa menemukan bilangan desimal baru di antaranya.
- D. Celah antara bilangan desimal hanya bisa diisi oleh bilangan bulat.
Jawaban: C. Berapa pun banyaknya digit di belakang koma pada dua bilangan berbeda, kita selalu bisa menemukan bilangan desimal baru di antaranya.
Kita selalu bisa menyisipkan angka di antara dua desimal yang berbeda hanya dengan menambah digit (desimal lebih panjang), sehingga tidak ada desimal yang 'paling mepet' dengan desimal lain.
Kepadatan bilangan desimal/pecahan membuktikan tidak ada batasan 'selisih paling mepet'; selalu ada angka desimal lain di antara dua bilangan desimal mana pun.
Kepadatan Bilangan Rasional
Sekarang kita udah lihat secara visual kalau kita selalu bisa menyelipkan angka dengan menambah digit di belakang koma. Tapi, gimana cara matematikawan memastikan dan meresmikan "selalu ada bilangan di tengah" ini secara matematis, khususnya untuk bilangan rasional (bilangan yang bisa ditulis jadi pecahan $\frac{p}{q}$)?
Cara paling elegan dan absolut untuk membuktikan ada angka lain di antara bilangan $a$ dan bilangan $b$ adalah dengan mencari titik persis di tengah-tengahnya. Caranya? Ya, tinggal kita ambil rata-ratanya!
Misalnya kamu punya dua bilangan rasional yang bedanya tipis banget, misal $\frac{1}{3}$ dan $\frac{1}{2}$. Titik tengahnya adalah: $\frac{\frac{1}{3} + \frac{1}{2}}{2} = \frac{\frac{5}{6}}{2} = \frac{5}{12}$
Karena bilangan rasional adalah pecahan bilangan bulat, operasi menambah dan membagi dua bilangan rasional akan selalu menghasilkan bilangan rasional (pecahan) yang baru. Angka rata-rata ini dijamin lebih besar dari $a$ dan lebih kecil dari $b$. Lalu kita bisa ulang lagi cari titik tengah antara $a$ dan rata-rata barunya, tanpa akan pernah kehabisan. Konsep ini membuktikan secara mantap bahwa himpunan bilangan rasional sifatnya padat (dense).
Tentukan Benar atau Salah dari klaim-klaim mengenai kepadatan bilangan rasional ini!
- Jika $x$ dan $y$ adalah bilangan rasional, maka $(x+y)/2$ pasti berada di antara $x$ dan $y$. — Benar
- Tidak ada bilangan rasional di antara pecahan $\frac{1}{100}$ dan $\frac{2}{100}$. — Salah
- Proses mencari rata-rata dua pecahan bisa dilakukan terus menerus sampai tak terhingga. — Benar
Rata-rata dari dua rasional pasti rasional baru di tengahnya. Pernyataan 2 salah karena pecahan tidak memiliki batas selisih terkecil, tidak seperti bilangan bulat.
Bilangan rasional bersifat padat; rata-rata dari dua bilangan rasional yang berbeda pasti akan menghasilkan bilangan rasional baru di antara keduanya.