Peluang Kombinasi: Sistematis & Terukur
Mengapa Pengambilan Sekaligus Pakai Kombinasi
Pengambilan objek secara bersamaan berarti urutan terpilihnya objek tidak dihitung sebagai hasil yang berbeda, sehingga kita membagi total permutasi dengan faktorial jumlah objek.
Bayangkan kita sedang memilih anggota tim ke dalam keranjang. Ketika kita mengambil 3 voucher sekaligus dari dalam kotak, urutan voucher yang terpegang di tangan tidak berpengaruh sama sekali. Mengambil voucher $(A, B, C)$ sama persis dengan mengambil $(B, A, C)$ atau $(C, B, A)$. Karena posisi di dalam keranjang bebas, kita menggunakan konsep Kombinasi, yang dilambangkan dengan $C(n, r)$ atau $\binom{n}{r}$.
Rumus umum kombinasi dinyatakan sebagai:
$$C(n, r) = \frac{n!}{r!(n - r)!}$$
Secara konsep aljabar, suku pembilang $\frac{n!}{(n - r)!}$ menghitung banyaknya cara memilih dengan memperhatikan urutan (permutasi). Kemudian, pembagian dengan $r!$ di bagian penyebut bertujuan untuk mengeliminasi hitungan ganda akibat penataan posisi antar-objek yang telah terpilih.
Mari kita gunakan rumus ini untuk menghitung total Ruang Sampel $n(S)$ dari situasi lomba 17 Agustus: mengambil 3 voucher dari total 9 voucher yang tersedia ($3\text{ kipas} + 4\text{ uang tunai} + 2\text{ tiket} = 9$):
$$n(S) = C(9, 3) = \frac{9!}{3!(9 - 3)!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6!}{(3 \times 2 \times 1) \times 6!}$$
Setelah faktor $6!$ di pembilang dan penyebut dibagi habis, kita menyederhanakan pecahan:
$$n(S) = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 3 \times 4 \times 7 = 84$$
Nilai $n(S) = 84$ ini menjadi dasar penyebut bagi setiap perhitungan peluang pada pengambilan voucher tersebut.
Aturan Perkalian Pada Pengambilan Bersyarat
Ketika mencari peluang sekelompok objek yang spesifik, kita mengalikan kombinasi dari objek utama dengan kombinasi pengisi sisa tempat.
Dalam soal, Opsi A menyatakan: "Peluang terambilnya 2 voucher kipas angin adalah $\frac{3}{14}$". Mari kita bedah struktur kejadiannya secara aljabar. Total voucher yang harus diambil adalah 3 buah. Jika disyaratkan tepat 2 voucher kipas angin, artinya kuota pengambilan kita belum selesai; masih ada sisa 1 slot yang wajib diisi oleh voucher jenis lain.
Analogi memilih anggota tim ke dalam keranjang membantu kita membagi proses ini menjadi dua sub-tugas yang saling melengkapi:
Memilih objek utama: Memilih 2 voucher kipas dari 3 yang ada di kotak:
$$C(3, 2) = \frac{3!}{2!1!} = 3\text{ cara}$$
Memilih pengisi sisa kuota: Memilih 1 voucher sisanya dari kelompok non-kipas ($9 - 3 = 6$ voucher lainnya):
$$C(6, 1) = \frac{6!}{1!5!} = 6\text{ cara}$$
Berdasarkan aturan perkalian untuk tahapan pemilihan simultan, banyak cara terjadinya kejadian ini adalah:
$$n(E_1) = C(3, 2) \times C(6, 1) = 3 \times 6 = 18$$
Dengan nilai ruang sampel $n(S) = 84$, peluang terambilnya 2 voucher kipas angin dapat ditentukan secara pasti:
$$P(E_1) = \frac{n(E_1)}{n(S)} = \frac{18}{84} = \frac{3}{14}$$
Perhitungan aljabar ini membuktikan bahwa Opsi A benar. Siswa yang ragu sering kali lupa mengalikan dengan $C(6, 1)$, sehingga kehilangan faktor pengisi sisa kuota.
Dalam sebuah kotak terdapat 5 kelereng merah dan 4 kelereng putih. Jika diambil 4 kelereng sekaligus secara acak, berapa banyak cara untuk mendapatkan tepat 3 kelereng merah?
- C(5, 3) cara
- C(9, 4) cara
- C(5, 3) × C(4, 1) cara
- C(5, 3) + C(4, 1) cara
Jawaban: C(5, 3) × C(4, 1) cara
Karena diambil 4 kelereng sekaligus dan disyaratkan tepat 3 merah, sisa 1 slot kelereng wajib diisi dari kelompok warna lain (4 putih). Berdasarkan prinsip perkalian pemilihan bertahap, banyak caranya adalah memilih 3 dari 5 kelereng merah (C(5, 3)) DIKALI memilih 1 dari 4 kelereng putih (C(4, 1)). Menjumlahkan kombinasi adalah keliru karena kedua pemilihan tersebut terjadi bersamaan ('dan'), bukan pilihan terpisah ('atau'). Mengabaikan kelereng putih juga keliru karena kuota 4 kelereng belum terpenuhi.
Memahami bahwa sisa kuota pengambilan harus dipenuhi dari kelompok objek yang berbeda menggunakan aturan perkalian.
Menghitung Kejadian Homogen
Jika seluruh objek yang diambil berasal dari satu jenis, kita cukup mengevaluasi satu perhitungan kombinasi untuk pembilang peluangnya.
Kondisi ini muncul saat mengevaluasi pernyataan mengenai voucher uang tunai pada Opsi B dan Opsi E: "Peluang terambil ketiganya voucher uang tunai". Karena ketiga voucher yang dimasukkan ke dalam keranjang berasal dari kategori yang sama persis (yaitu uang tunai), tidak ada sisa kuota untuk jenis voucher lain.
Kotak menyediakan 4 voucher uang tunai dan kita mengambil 3 di antaranya. Jumlah cara pemilihannya langsung dihitung dengan satu kombinasi tunggal:
$$n(E_2) = C(4, 3) = \frac{4!}{3!(4 - 3)!} = \frac{4 \times 3!}{3! \times 1} = 4\text{ cara}$$
Peluang kejadian ini dihitung dengan membandingkan hasil tersebut terhadap total Ruang Sampel ($n(S) = 84$):
$$P(E_2) = \frac{n(E_2)}{n(S)} = \frac{4}{84}$$
Langkah terakhir adalah penyederhanaan aljabar: kedua bilangan pembilang dan penyebut dibagi dengan 4:
$$\frac{4 \div 4}{84 \div 4} = \frac{1}{21}$$