Bongkar Pertidaksamaan dari Grafik

Trik Cepat Persamaan Garis

Persamaan garis yang memotong sumbu X di $(a, 0)$ dan sumbu Y di $(0, b)$ dapat langsung ditulis sebagai $bx + ay = ab$.

Bayangkan daerah arsiran pada grafik soal seperti sebuah taman yang sedang kita kurung. Setiap garis lurus pembatasnya bertindak sebagai pagar taman. Sebelum memutuskan sisi mana dari pagar yang boleh diinjak, kita perlu mengetahui posisi pasti dari pagar itu sendiri dalam bentuk persamaan garis tanda sama dengan ($=$).

Ketika sebuah garis memotong kedua sumbu koordinat, kita tidak perlu membuang waktu menghitung gradien lalu menyusun rumus titik-gradien yang panjang. Cukup pakai trik perkalian silang: angka pada sumbu Y dikalikan dengan variabel $x$, angka pada sumbu X dikalikan dengan variabel $y$, dan hasil kalinya ditaruh di ruas kanan.

Pada gambar soal, garis miring pertama memiliki Titik Potong Sumbu di $(1, 0)$ pada Sumbu X (artinya $a = 1$) dan di $(0, -3)$ pada Sumbu Y (artinya $b = -3$).

Dengan rumus cepat $bx + ay = ab$:

$$(-3)x + (1)y = (-3)(1)$$

$$-3x + y = -3$$

Kalikan kedua ruas dengan $-1$ agar koefisien $x$ bernilai positif:

$$3x - y = 3$$

Melengkapi Pagar Taman

Garis lurus yang tegak lurus pada sumbu memiliki bentuk persamaan tunggal yang simpel, yaitu $x = c$ atau $y = c$.

Mari kita terapkan kembali trik silang pada garis miring kedua di gambar soal. Garis tersebut memotong Sumbu X di $(2, 0)$ dan Sumbu Y di $(0, 1)$. Berarti $a = 2$ dan $b = 1$:

$$(1)x + (2)y = (1)(2) \implies x + 2y = 2$$

Selain dua garis miring, perhatikan bahwa taman kita juga dikelilingi oleh dua garis pembatas khusus yang sejajar dengan sumbu:

1. Batas tegak (vertikal): Semua titik pada garis ini memiliki koordinat $x$ yang sama, yaitu melalui nilai $-2$ pada sumbu horizontal. Persamaannya adalah $x = -2$.

2. Batas mendatar (horizontal): Semua titik pada garis ini memiliki ketinggian yang sama, yaitu melalui nilai $4$ pada sumbu vertikal. Persamaannya adalah $y = 4$.

Sekarang keempat pagar pembatas kita sudah lengkap: $3x - y = 3$, $x + 2y = 2$, $x = -2$, dan $y = 4$. Langkah berikutnya adalah menentukan arah arsirannya.

Menentukan Arah Arsiran

Tanda pertidaksamaan ditentukan dengan menguji satu titik sembarang dari dalam daerah arsiran ke dalam persamaan garis.

Banyak yang tergoda menghafal aturan sepihak, seperti mengira bahwa "daerah di atas garis selalu bertanda $\ge$". Dugaan ini berbahaya karena tanda ketidaksamaan sangat bergantung pada tanda positif atau negatif dari koefisien variabelnya. Kesalahan inilah yang menjebak siswa pada Opsi A (tanda kedua garis miring terbalik), Opsi D (konstanta salah tanda aljabar), dan Opsi E (koefisien serta arah tanda tidak cocok).

Cara yang paling aman dan terbukti adalah melakukan Uji Titik. Pilihlah satu titik yang jelas berada di dalam Daerah Penyelesaian, misalnya titik $(0, 2)$.

Substitusikan titik $(0, 2)$ ke masing-masing persamaan batas:

• Untuk garis $3x - y = 3$:

  $$3(0) - (2) = -2$$

  Karena $-2 \le 3$, tanda yang benar adalah **$3x - y \le 3$**.

• Untuk garis $x + 2y = 2$:

  $$(0) + 2(2) = 4$$

  Karena $4 \ge 2$, tanda yang benar adalah **$x + 2y \ge 2$**.

• Untuk batas vertikal: Daerah arsiran berada di sebelah kanan garis $x = -2$, sehingga $x \ge -2$.

• Untuk batas horizontal: Daerah arsiran berada di bawah garis $y = 4$, sehingga $y \le 4$.

Dengan menggabungkan keempat batas tersebut, diperoleh sistem pertidaksamaan lengkap:

$$3x - y \le 3; \quad x + 2y \ge 2; \quad y \le 4; \quad x \ge -2$$

Hasil ini tepat sesuai dengan Opsi B.