Gacha Kelereng: Membedah Kombinasi & Peluang Komplemen

Jebakan Kata 'Acak' 🎲

Banyak yang mengira kalau ada kata "acak" di soal peluang, otomatis kita harus pakai rumus Kombinasi. Padahal, bukan itu maksudnya!

Kata acak dalam peluang cuma berarti prosesnya adil—artinya kita mengambil kelereng dari dalam tas tanpa mengintip, sehingga setiap kelereng punya kesempatan (peluang) yang persis sama untuk terpilih. Kata ini sama sekali bukan penentu rumus.

Lalu, apa yang bikin kita mutlak pakai Kombinasi? Kuncinya ada di kata sekaligus.

Coba bayangkan kamu sedang main gacha. Kalau game-nya memberikan hadiah secara berurutan (misal: tarikan pertama dapat Pedang, tarikan kedua dapat Tameng), maka urutan itu penting. Ini wilayahnya Permutasi.

Tapi, kalau sistem gacha langsung menjatuhkan 2 kapsul secara bersamaan ke keranjangmu (sekaligus), mendapatkan Pedang-Tameng akan persis sama maknanya dengan Tameng-Pedang. Karena diambil secara bersamaan, secara fisik mustahil ada urutan pertama dan kedua. Urutan hasil tidak dibedakan, dan di sinilah kita wajib menggunakan Kombinasi!

Memetakan Semesta (Ruang Sampel)

Untuk tahu peluang sebuah kejadian, kita wajib tahu dulu semestanya: ada berapa total semua kemungkinan yang bisa terjadi kalau kita mengambil 2 kelereng dari total 8 kelereng.

Karena kita sudah sepakat bahwa mengambil 2 kelereng sekaligus itu tidak membedakan urutan, kita menggunakan prinsip Kombinasi untuk menghitung ruang sampel (disimbolkan $n(S)$): yaitu memilih 2 dari 8 kelereng.

Matematikanya ditulis: $C(8, 2)$.

Mungkin kamu ingat rumusnya: $\frac{n!}{r!(n-r)!}$. Dari mana asalnya? Secara simpel, kita menghitung semua kemungkinan tarikan pertama dan kedua ($8 \times 7 = 56$ cara). TAPI, karena kita tahu Kelereng Merah-Biru sama saja dengan Biru-Merah, kita harus membuang hitungan ganda tersebut dengan membaginya dengan $2!$ (atau $2 \times 1$).

Dari hitungan ini, kita mendapatkan 28 kombinasi pasangan kelereng yang berbeda di dalam semesta kita. Makanya, kalau kamu cek Pernyataan III di soal tadi yang menyebutkan total kombinasi hasil pengambilan (ruang sampel) adalah 28, pernyataan itu terbukti BENAR.

Trik 'Sekurang-kurangnya' 🎯

Di soal, kita diminta mencari peluang mendapatkan sekurang-kurangnya 1 kelereng biru (Pernyataan II). Bahasa matematika "sekurang-kurangnya" ini sering menjebak, tapi mari kita petakan skenarionya secara visual.

Kalau kita memanen 2 kelereng dari tas tadi, secara logika cuma ada 3 skenario yang mungkin terjadi:

1. (2 Merah)

2. (1 Merah & 1 Biru)

3. (2 Biru)

Kata "sekurang-kurangnya 1 biru" alias "minimal 1 biru" itu menyuruh kita menghitung skenario ke-2 dan ke-3. Boleh saja sih kamu menghitung peluang keduanya satu per satu lalu menjumlahkannya. Tapi, ada jalan pintas yang jauh lebih cepat: Komplemen.

Daripada menghitung kejadian yang kita mau, jauh lebih hemat energi jika kita menghitung satu-satunya kejadian yang TIDAK kita mau, lalu menguranginya dari total kemungkinan (semesta)! Apa sih kejadian yang dilarang kalau kita mau "minimal 1 biru"? Ya, mendapatkan (0 Biru) alias keduanya Merah!

Mari kita hitung peluang terambilnya (2 Merah) ini. Dari 3 kelereng merah yang ada di tas, kita memilih 2. $n(\text{2 Merah}) = C(3, 2) = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$ kejadian.

Karena ruang semesta kita tadi ada 28, maka peluang terambilnya 2 Merah adalah $\frac{3}{28}$. Fakta ini sekaligus membuktikan kalau Pernyataan I SALAH, karena di opsi tertulis $\frac{5}{28}$.