Perambatan Ketidakpastian: Pangkat & Konstanta

Fondasi: Operasi Perkalian dan Pembagian

Pernahkah kamu menghitung luas meja dengan mengalikan panjang dan lebarnya, lalu sadar kalau ukuran panjang dan lebar yang kamu ukur mungkin sedikit meleset? Saat kamu mengalikan atau membagi besaran fisika yang punya ketidakpastian, kesalahan dari masing-masing pengukuran itu akan terakumulasi alias menumpuk pada hasil akhirnya.

Secara matematis, jika kamu punya suatu besaran $Z$ yang didapat dari perkalian ($Z = A \cdot B$) atau pembagian ($Z = \frac{A}{B}$), maka persentase kesalahannya (ketidakpastian relatif) adalah hasil penjumlahan dari ketidakpastian relatif masing-masing besaran pembentuknya.

Kenapa dijumlahkan dan bukan dikurangkan? Dalam menghitung ketidakpastian, kita selalu mencari kondisi paling pesimis (kesalahan maksimal). Kesalahan pada pengukuran pertama bisa berlawanan arah dengan kesalahan pengukuran kedua sedemikian rupa sehingga hasil akhirnya menjadi semakin jauh dari nilai aslinya. Oleh karena itu, kita selalu menjumlahkan persentase kesalahannya.

Mengurai Logika Variabel Berpangkat

Dalam soal massa jenis bola, kita dihadapkan pada volume bola yang mengandung variabel diameter berpangkat tiga ($d^3$). Seringkali siswa bingung, harus dikemanakan pangkat ini saat menghitung persentase ketidakpastian?

Mari kita bongkar logikanya. Memangkatkan suatu variabel pada dasarnya adalah melakukan perkalian berulang.

Jika volume $V = d^3$, itu sama saja dengan mengatakan $V = d \cdot d \cdot d$.

Dengan menggunakan aturan perkalian dari halaman sebelumnya, kita tinggal menjumlahkan ketidakpastian relatif dari setiap variabel yang dikalikan: $\frac{\Delta V}{V} = \frac{\Delta d}{d} + \frac{\Delta d}{d} + \frac{\Delta d}{d}$

Hasilnya, kita mendapatkan persis tiga kali lipat ketidakpastian awal: $\frac{\Delta V}{V} = 3 \cdot \frac{\Delta d}{d}$

Aturan umumnya sangat sederhana: Jika $Z = A^n$, maka ketidakpastian relatifnya adalah $\frac{\Delta Z}{Z} = |n| \frac{\Delta A}{A}$. Tanda mutlak digunakan karena ketidakpastian selalu bernilai positif, bahkan jika pangkatnya negatif.

Sifat Konstanta dalam Pengukuran

Rumus volume bola adalah $V = \frac{1}{6} \pi d^3$. Di dalam rumus ini, ada angka $\frac{1}{6}$ dan $\pi$. Apakah mereka berdua menyumbang kesalahan ukur (ketidakpastian)?

Jawabannya: Tidak. Angka $\frac{1}{6}$ dan $\pi$ adalah nilai pasti (eksak). Mereka didapat dari definisi matematika yang mutlak, bukan dari hasil penglihatan matamu ke alat ukur mistar atau jangka sorong.

Bagaimana dampaknya ke perhitungan matematis? Mari kita asumsikan $k$ adalah konstanta dan $A$ adalah hasil ukur. Jika $Z = k \cdot A$, mari kita gunakan aturan perkalian: $\frac{\Delta Z}{Z} = \frac{\Delta k}{k} + \frac{\Delta A}{A}$ $\frac{\Delta Z}{Z} = 0 + \frac{\Delta A}{A} = \frac{\Delta A}{A}$

Terlihat jelas bahwa keberadaan konstanta sama sekali tidak mengubah persentase kesalahan hasil akhir. Konstanta hanya mengubah ukuran (skala) hasil perhitungan akhirmu, tapi tidak menularkan error apa-apa.