Taktik Membandingkan Pangkat Raksasa
Syarat Mutlak Membandingkan
Pernah nggak kamu disuruh milih: lebih berat 50 butir kelereng atau 30 buah apel? Pasti bingung, kan? Ukuran barangnya beda (kelereng vs apel), jumlahnya juga beda (50 vs 30).
Sama halnya dengan membandingkan $3^{50}$, $4^{40}$, dan $5^{30}$. Kita punya dua masalah sekaligus:
Basisnya beda (angka 3, 4, dan 5).
Pangkatnya beda (angka 50, 40, dan 30).
Karena angka 3, 4, dan 5 itu bilangan yang mandiri (nggak bisa diubah jadi kelipatan satu sama lain dengan mudah), menyamakan basis adalah jalan buntu.
Satu-satunya jalan logis agar ketiga bilangan ini bisa dibandingkan dengan pasti adalah: kita harus mencari cara untuk menyamakan pangkatnya.
Kalo pangkatnya udah sama, kita tinggal melihat ukuran basisnya aja untuk tau siapa yang paling besar. Di halaman berikutnya, kita bongkar cara ngakalin pangkatnya!
Alat Bedah: Sifat Pemangkatan
Nah, gimana caranya mengubah pangkat $50$, $40$, dan $30$ biar jadi angka yang sama? Kita bisa "membedah" pangkat besar tersebut menggunakan salah satu sifat dasar eksponen yang mungkin udah sering kamu pakai:
Kita bisa membalik logika sifat ini! Angka yang besar seperti $50$ bisa kita pecah menjadi bentuk perkalian. Misalnya, $50$ itu sama dengan $5 \times 10$.
Dengan memecah perkalian ini, kita bisa menciptakan "pangkat dalam" dan "pangkat luar".
Dengan teknik ini, kita bisa "menyimpan" angka yang kecil (seperti $5$) ke dalam kurung sebagai basis baru, dan menyisakan angka yang seragam (seperti $10$) di luar kurung.
Coba tes pemahamanmu tentang membedah pangkat ini dulu, yuk!
Jika kita ingin mengubah bilangan $2^{24}$ agar memiliki pangkat luar bernilai $4$, bentuk manakah yang paling tepat?
- A. (2^4)^5
- B. (2^{12})^2
- C. (2^6)^4
- D. (2^8)^4
Jawaban: C. (2^6)^4
Pangkat 24 bisa dipecah menjadi 6 * 4. Dengan sifat pangkat bertingkat, 2^(6*4) ditulis menjadi (2^6)^4. Opsi A menghasilkan 20, opsi B menghasilkan 24 tapi pangkat luarnya 2, opsi D menghasilkan 32.
Sifat pangkat bertingkat (a^m)^n = a^(m*n) dapat digunakan secara terbalik untuk memecah pangkat besar menjadi pangkat dalam dan luar.
Strategi Logis: FPB sebagai Kunci
Sekarang pertanyaannya: dari mana kita tau harus milih angka $10$ sebagai "pangkat luar"? Kenapa nggak $2$, $5$, atau angka lain?
Tujuan kita adalah bikin pangkat luar dari ketiga bilangan ($3^{50}$, $4^{40}$, dan $5^{30}$) jadi persis sama. Artinya, kita butuh satu angka ajaib yang bisa membagi habis angka $50$, $40$, dan $30$ sekaligus, dan bikin angkanya se-sederhana mungkin.
Di sinilah kita menggunakan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)!
Karena kita sepakat pakai angka $10$ di luar, mari ubah bentuk awal bilangan-bilangan tadi:
$p = 3^{50} \implies 3^{5 \times 10} \implies \mathbf{(3^5)^{10}}$
$q = 4^{40} \implies 4^{4 \times 10} \implies \mathbf{(4^4)^{10}}$
$r = 5^{30} \implies 5^{3 \times 10} \implies \mathbf{(5^3)^{10}}$
Sekarang, medan perangnya udah adil. Semuanya sama-sama punya pangkat $10$. Tinggal satu langkah lagi!