Rahasia Sisa Pangkat Besar

Butuh Jalan Tol

Menghitung sisa bagi bilangan berpangkat besar secara manual tidak mungkin dilakukan, jadi kita membutuhkan jalan pintas.

Nilai dari $3^{2026}$ adalah bilangan raksasa dengan ribuan digit. Mengalikan angka $3$ sebanyak $2026$ kali di atas kertas jelas mustahil, apalagi kemudian membaginya secara bersusun dengan $5$ hanya untuk mencari sisa pembagian.

Ilustrasi perbandingan jalan meliuk panjang yang macet dengan jalan pintas sirkuit melingkar yang lancar.

Menebak bahwa sisanya adalah $3$ hanya karena angka basis-nya adalah $3$ (seperti jebakan di Opsi C) adalah keliru. Nilai sisa pembagian tidak ditentukan langsung oleh angka dasarnya, melainkan terus bergerak mengikuti hasil perkalian pangkat tersebut. Begitu pula anggapan bahwa angka yang sangat besar lama-lama akan habis dibagi pembaginya sehingga menyisakan $0$ (seperti di Opsi E). Perkalian bilangan $3$ berulang kali ($3, 9, 27, 81, \dots$) tidak akan pernah menghasilkan bilangan kelipatan $5$.

Untuk menaklukkan angka sebesar $3^{2026}$, kita tidak perlu menghitung seluruh nilainya. Kita hanya perlu mengamati pola sisa pembagian dari pangkat-pangkat kecilnya terlebih dahulu.

Sirkuit Pola Sisa Berulang

Sisa pembagian perpangkatan secara konsisten akan membentuk siklus atau putaran yang berulang pada titik tertentu.

Jalan pintas terbaik adalah memeriksa sisa pembagian dari perpangkatan kecil secara berurutan. Perhatikan pola saat bilangan dengan basis $3$ dipangkatkan lalu dibagi $5$:

Ketika kita berlanjut ke $3^5 = 243$, hasil baginya dengan $5$ menghasilkan sisa $3$. Angkanya kembali persis ke titik awal! Pola sisa pembagian ini membentuk siklus melingkar yang terkunci pada urutan: $3 \rightarrow 4 \rightarrow 2 \rightarrow 1$.

Panjang rute sirkuit ini adalah $4$. Artinya, setiap kali nilai eksponen bertambah $4$, jarum sisa akan berputar satu putaran penuh dan kembali menunjuk angka yang sama, persis seperti jarum jam dinding yang kembali ke angka semula setelah berputar $12$ jam.

Suatu bilangan $X$ memiliki pola sisa pembagian berturut-turut $(7, 9, 3, 1)$ jika dipangkatkan lalu dibagi $10$. Berapakah sisa pembagian bilangan tersebut pada pangkat ke-$6$?

  • Bersisa 7 karena kembali ke urutan pertama siklus
  • Bersisa 9 karena berhenti di urutan kedua siklus
  • Bersisa 3 karena berhenti di urutan ketiga siklus
  • Bersisa 1 karena berhenti di urutan keempat siklus

Jawaban: Bersisa 9 karena berhenti di urutan kedua siklus

Pola sisa pembagian membentuk siklus 4 langkah berurutan: (7, 9, 3, 1). Untuk pangkat ke-6, bagi eksponen dengan panjang siklus: 6 = (4 x 1) + 2, yang berarti 1 putaran penuh ditambah 2 langkah maju. Langkah kedua pada pola tersebut adalah angka 9. Opsi A keliru karena menganggap siklus mereset langsung ke urutan awal, sedangkan Opsi C dan D keliru dalam menentukan langkah sisa pembagian eksponen.

Sisa pembagian berurutan membentuk putaran yang polanya dapat diandalkan ke urutan lebih jauh.

Berhenti di Titik yang Pas

Menemukan nilai akhir di pola yang besar dilakukan dengan mencari sisa pembagian dari eksponen dibagi panjang sirkuit.

Karena panjang sirkuit perulangan sisa pembagian $3^n$ oleh $5$ adalah $4$, kita tinggal melihat berapa putaran penuh yang telah dilalui oleh eksponen $2026$, dan di titik mana langkah tersebut akhirnya terhenti:

$$\begin{aligned} 2026 &= 4 \times 506 + 2 \end{aligned}$$

Perhitungan ini memberi tahu kita bahwa sirkuit telah diputar penuh sebanyak $506$ kali, lalu melangkah maju sebanyak $2$ langkah. Sisa $2$ inilah titik pemberhentian kita.

Diagram siklus 4 langkah sisa pembagian dengan penanda sorotan pada posisi langkah kedua.

Dengan mengetahui bahwa perhentian jatuh di langkah ke-$2$:

Sebuah bilangan berpangkat memiliki pola sisa pembagian dengan panjang putaran siklus $5$. Jika kita ingin mencari nilai sisa dari bilangan tersebut pada pangkat $112$, pola sisa ke berapakah yang menjadi rujukan kita?

  • Mengacu pada pola sisa yang ke-1
  • Mengacu pada pola sisa yang ke-2
  • Mengacu pada pola sisa yang ke-3
  • Mengacu pada pola sisa yang ke-5

Jawaban: Mengacu pada pola sisa yang ke-2

Untuk menemukan posisi urutan dalam siklus, bagi nilai eksponen dengan panjang siklus: 112 dibagi 5 menghasilkan 22 dengan sisa pembagian 2 (karena 112 = 5 x 22 + 2). Angka sisa 2 ini menunjukkan bahwa posisi nilai tersebut jatuh tepat pada pola sisa yang ke-2. Opsi A keliru karena menebak pola awal, Opsi C keliru dalam perhitungan sisa bagi, dan Opsi D keliru mengira bilangannya habis dibagi tanpa sisa.

Menemukan posisi akhir eksponen berdasarkan operasi panjang siklus.