Membandingkan Akar Beda Pangkat

Akar Menjadi Pecahan (Biar Nggak Ketukar)

Di soal ini, kita ketemu sama bentuk-bentuk kayak $\sqrt{2}$, $\sqrt[4]{3}$, dan $\sqrt[3]{4}$. Wujud akar begini agak susah diutak-atik. Trik pertamanya adalah ngubah wujud akar jadi pangkat pecahan. Tapi, pas ngubah sering banget pada kebolak-balik, mana yang jadi pembilang (atas) dan mana yang jadi penyebut (bawah).

Biar gak ketukar, bayangin aja akar pohon yang nancep di bawah tanah. Angka yang nempel di logo akar (indeks akar) posisinya bakalan selalu ada di bawah sebagai penyebut di pangkat pecahannya.

Sifat dasar dari eksponen pecahan adalah: $\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}$.

Coba kita ubah bilangan di soal pakai aturan ini:

• $b = \sqrt[4]{3} = 3^{\frac{1}{4}}$ (Akar 4 pindah ke bawah)

• $c = \sqrt[3]{4} = 4^{\frac{1}{3}}$ (Akar 3 pindah ke bawah)

• Nah, $a = \sqrt{2}$. Kalau gak ada angkanya, itu sebenernya "akar pangkat 2" dari $2^1$. Jadi, $\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$.

Dilema Pangkat yang Berbeda

Sekarang soalnya udah berubah wajah jadi ngebandingin $a = 2^{\frac{1}{2}}$, $b = 3^{\frac{1}{4}}$, dan $c = 4^{\frac{1}{3}}$.

Kalo disuruh membandingkan bilangan kayak $2^3$ dan $2^5$, kamu pasti langsung tau jawabannya karena basis bilangannya sama (sama-sama 2). Tapi di sini, basisnya beda ($2, 3, 4$) dan pangkatnya pun bentuknya pecahan yang beda ($\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}$). Pusing kan kalau harus ngitung desimalnya satu-satu?

Solusinya: kayak belajar pecahan pas SD, kuncinya adalah menyamakan penyebut. Di eksponen, kita juga bisa pakai logika KPK (Kelipatan Persekutuan Terkecil) buat ngakalin penyebut si pangkat ini. Penyebut pangkat kita adalah $2, 3,$ dan $4$. KPK dari ketiganya adalah $12$.

Lewat visual di atas, dengan mengubah penyebut jadi seragam, semua potongan jadi bisa dinilai apel-to-apel. Tapi, gimana cara nge-aplikasiin angka $12$ ini ke eksponennya? Yuk ke halaman selanjutnya!

Jalan Pintas: Pangkatkan Semuanya!

Kita udah ketemu 'angka ajaib' KPK yaitu $12$. Nah, cara pakai angka ini bukan dijadiin penyebut baru (walau bisa aja), tapi yang paling gampang adalah: pangkatkan SEMUA bilangan dengan 12.

Lho, emang boleh ngerubah nilai bilangannya?

Tujuannya kan cuma pengen tau urutan (mana yang lebih kecil/gede), bukan cari nilai aslinya. Asalkan semua bilangan dipangkatkan dengan angka yang sama, urutannya nggak akan berubah!

Sifat eksponen yang bakal nyelamatin kita di sini adalah: $(x^m)^n = x^{m \times n}$. Pangkat ketemu pangkat, jadinya dikali. Karena 12 adalah kelipatan dari semua penyebut, semua bentuk pecahan di pangkatnya bakalan abis tereliminasi!