Menyelesaikan Persamaan Pecahan

Timbangan yang Bikin Pusing

Pernahkah kamu melihat timbangan pasar tradisional? Bayangkan sebuah persamaan matematika sebagai timbangan berlengan dua. Ruas kiri adalah piringan kiri, dan ruas kanan adalah piringan kanan. Tanda sama dengan ($=$) berarti kedua sisi timbangan sedang seimbang sempurna.

Sekarang, bayangkan beban di atas timbangan itu adalah "kotak misteri" ($x$) dan anak timbangan biasa. Tapi ada masalah: beberapa kotak dan beban sudah dipotong-potong menjadi sepertiga ($\frac{1}{3}$) dan setengah ($\frac{1}{2}$). Menghitung potongan-potongan pecahan ini tentu bikin pusing!

Ilustrasi timbangan pasar tradisional dengan beban keranjang utuh dan potongan keranjang yang seimbang.

Daripada repot menghitung pecahan aljabar, strategi utama kita adalah menyingkirkan pecahannya sejak awal dengan melipatgandakan seluruh persamaan. Tindakan ini membuat hitungan menjadi lebih ramah.

Jika kita memiliki persamaan $\frac{x}{2} = 5$ (timbangan seimbang dengan setengah kotak misteri di kiri dan 5 beban utuh di kanan), tindakan apa yang paling tepat untuk membuat kotak misteri menjadi utuh TANPA merusak keseimbangan timbangan?

  • Mengalikan ruas kiri dengan 2, dan membiarkan ruas kanan tetap.
  • Mengalikan KEDUA ruas timbangan dengan angka 2.
  • Menambahkan angka 2 ke ruas kiri dan ruas kanan.
  • Mengkuadratkan nilai di ruas kiri saja.

Jawaban: Mengalikan KEDUA ruas timbangan dengan angka 2.

Sama seperti timbangan, jika kamu menggandakan beban di satu sisi, kamu wajib menggandakan beban di sisi lainnya dengan faktor yang sama persis agar keseimbangan terjaga.

Persamaan tetap ekuivalen dan seimbang bila KEDUA ruas dikalikan dengan bilangan yang persis sama.

Senjata Pemusnah Pecahan

Pada persamaan kita: $\frac{5x-1}{3} + \frac{5+3x}{2} = 4x-2$, kita punya pembagi $3$ dan $2$. Kita butuh satu "angka ajaib" untuk dikalikan ke semua bagian timbangan agar pembaginya hilang.

Coba pikirkan: kalau kita kalikan semuanya dengan $2$, pembagi $2$ akan tercoret, tapi pembagi $3$ masih sisa (karena $2$ tidak habis dibagi $3$). Kalau dikali $3$, giliran pembagi $2$ yang bersisa.

Aturan emasnya: kalikan seluruh bagian (setiap suku di kiri maupun di kanan) dengan angka KPK ini untuk membersihkan persamaan dari pecahan sama sekali.

Jika kamu berhadapan dengan persamaan $\frac{x-1}{4} + \frac{2x}{5} = 3$, angka berapakah yang paling ampuh untuk mengalikan seluruh persamaan agar SEMUA pecahan hilang sekaligus dalam satu langkah?

  • 4
  • 5
  • 9
  • 20

Jawaban: 20

Kamu memiliki penyebut 4 dan 5. Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari 4 dan 5 adalah 20. Mengalikan semuanya dengan 20 akan langsung membagi habis angka 4 dan 5 tersebut.

KPK (Kelipatan Persekutuan Terkecil) dari penyebut-penyebut digunakan sebagai pengali untuk mengeliminasi semua pecahan sekaligus.

Mengeksekusi Strategi

Sekarang mari kita praktikkan perkalian $6$ ke seluruh bagian timbangan. Jangan lupa, karena kamu sudah jago aturan sifat distributif, ini saatnya unjuk gigi!

Ilustrasi timbangan pasar berlengan dua yang seimbang. Di sebelah kiri terdapat kotak sepertiga bagian dan setengah bagian; di kanan terdapat potongan lain. Di sebelahnya ada timbangan lain yang memuat beban utuh setelah dikalikan enam.

Kita kalikan setiap pecahan di ruas kiri dengan $6$:

Setelah penyebut tercoret, kita tinggal bongkar kurungnya pakai sifat distributif yang menyebar ke dalam kurung: Ruas kiri: $10x - 2 + 15 + 9x$ Ruas kanan: $24x - 12$

Wah, persamaannya sekarang sudah 'bersih' dari pecahan dan siap dieksekusi!

Berapakah hasil penyederhanaan yang tepat dari operasi $12 \cdot \frac{3x - 1}{4}$?

  • $3x - 1$
  • $9x - 1$
  • $9x - 3$
  • $12x - 3$

Jawaban: $9x - 3$

Pertama, coret angka 12 dengan penyebut 4, menyisakan angka 3. Kemudian, kalikan angka 3 ini ke SETIAP bagian di dalam kurung: $3 \cdot (3x) = 9x$, dan $3 \cdot (-1) = -3$. Hasilnya $9x - 3$.

Mencoret penyebut dengan pengali, lalu sisa faktor hasil bagi didistribusikan ke SELURUH suku di dalam pembilang.