Dilatasi Luas: Rahasia Cepat Tanpa Hitung Titik

Ilusi Zoom: Kenapa Bukan 3 Kali Lipat?

Kalau kamu punya foto dan kamu zoom-in atau perbesar ukurannya sampai 3 kali lipat, apakah luas fotonya jadi 3 kali lipat juga? Intuisi kita sering bilang "Iya dong, kan faktor skalanya 3!"

Ternyata, itu salah besar.

Luas adalah hasil perkalian dua dimensi: panjang dan lebar. Ketika kita memperbesar sebuah bangun datar dengan faktor skala $k = 3$, kita bukan cuma memanjangkan ukurannya ke satu arah. Kita menarik panjangnya jadi 3 kali lipat, DAN menarik lebarnya jadi 3 kali lipat juga.

Coba geser slider di atas! Bayangkan persegi berukuran $1 \times 1$ sentimeter (luasnya 1 kotak). Kalau kamu perbesar dengan skala 3 ($k=3$), panjangnya jadi 3 cm dan lebarnya jadi 3 cm. Saat kamu hitung jumlah kotak di dalam persegi yang baru, hasilnya bukan 3 kotak, melainkan 9 kotak ($3 \times 3$).

Jadi kesimpulannya: Faktor skala dilatasi ($k$) berlaku kuadratik ($k^2$) terhadap luas area.

Jika sebuah spanduk didilatasi dengan faktor skala k = 4, maka luas spanduk yang baru akan menjadi ... dari luas aslinya.

  • A. 4 kali lipat
  • B. 8 kali lipat
  • C. 16 kali lipat
  • D. 32 kali lipat

Jawaban: C. 16 kali lipat

Karena luas dipengaruhi dua dimensi (panjang dan lebar), dilatasi dengan faktor k=4 akan membuat luasnya menjadi k^2 = 4^2 = 16 kali lipat.

Luas bangun datar hasil dilatasi membesar sebesar kuadrat dari faktor skalanya (k^2).

Bukti Matematis di Balik Angka 9

Di halaman sebelumnya kita sudah melihat bukti visual untuk persegi. Tapi, apakah aturan $k^2$ ini berlaku mutlak untuk bangun lain, misalnya segitiga?

Jawabannya: Ya, mutlak! Mari kita buktikan secara matematis.

Rumus luas segitiga selalu melibatkan dua elemen linier yang saling tegak lurus: alas dan tinggi. $L = \frac{1}{2} \times \text{alas} \times \text{tinggi}$

Saat segitiga didilatasi dengan faktor $k = 3$, setiap garis lurus di segitiga itu ikut memanjang 3 kali lipat.

Sekarang, masukkan ukuran baru ini ke dalam rumus luas: $L' = \frac{1}{2} \times (3 \times \text{alas}) \times (3 \times \text{tinggi})$ $L' = 3 \times 3 \times \left(\frac{1}{2} \times \text{alas} \times \text{tinggi}\right)$ $L' = 9 \times L_{\text{asal}}$

Diketahui sebuah bangun datar didilatasi dengan faktor skala k = 3. Tentukan benar atau salah pernyataan-pernyataan berikut!

  • Tinggi segitiga yang baru menjadi 9 kali tinggi aslinya. — Salah
  • Jika luas segitiga awal adalah 10, maka luas bayangannya adalah 90. — Benar
  • Aturan k^2 juga berlaku jika bangun aslinya berupa lingkaran. — Benar

Tinggi adalah besaran linier (1 dimensi), jadi berubah sejajar dengan k (bukan k^2). Luas adalah besaran 2 dimensi sehingga berubah sebesar k^2. Rumus k^2 berlaku untuk bangun datar apapun.

Dilatasi mengalikan semua ukuran linier dengan k, dan ukuran luas dengan k^2.

Jalan Tol vs Jalan Kuli

Waktu ngerjain soal transformasi, banyak yang refleks langsung nyari koordinat bayangan tiap titik. Padahal, sering kali itu buang-buang waktu.

Di soal yang kita bahas, kita ditanya LUAS bayangan. Ada dua cara buat nyelesaiinnya:

Terus, gimana dengan info "Pusat dilatasi di Titik Asal $O(0,0)$"?

Faktanya: Pusat dilatasi (baik di $(0,0)$ maupun di $(a,b)$) TIDAK MENGUBAH LUAS. Pusat dilatasi cuma bertugas mengatur di mana posisi bayangannya akan mendarat. Karena kita cuma peduli sama seberapa besar luasnya, kita bisa dengan aman mengabaikan info pusat dilatasi ini!