Menelisik Rumus Sisa Waktu Paruh

Membelah Kertas Jadi Dua

Waktu paruh adalah interval waktu spesifik di mana jumlah suatu zat selalu menyusut menjadi tepat separuhnya.

Bayangkan kita memegang selembar kertas dengan massa awal seberat $100\text{ gram}$. Setiap kali bel berbunyi—yang kita tetapkan mewakili waktu paruh selama $8\text{ hari}$—kita memotong kertas tersebut tepat menjadi dua bagian sama besar, lalu menyingkirkan setengahnya.

Ketika bel pertama berbunyi di hari ke-$8$, kertas di tangan kita tersisa $50\text{ gram}$. Angka ini menjelaskan kekeliruan pada Opsi E ($50\text{ gram}$) yang baru melewati satu kali masa peluruhan saja. Selanjutnya, saat bel kedua berbunyi di hari ke-$16$, sisa kertas $50\text{ gram}$ tadi kita potong lagi menjadi dua sehingga menyisakan $25\text{ gram}$ (seperti jebakan pada Opsi C ($25\text{ gram}$)).

Sisa vs Terurai

Dalam setiap proses peluruhan, massa awal akan terbagi menjadi massa sisa yang belum berubah dan massa terurai yang sudah terlepas.

Massa sisa diibaratkan potongan kertas yang masih ada di tangan kita, yaitu bagian zat radioaktif yang belum mengalami perubahan wujud atau peluruhan. Sebaliknya, massa terurai adalah potongan kertas yang sudah disingkirkan ke lantai, mewakili zat radioaktif yang telah meluruh dan bertransformasi menjadi partikel atau unsur baru.

Kedua komponen ini saling melengkapi, sehingga hubungan keduanya selalu memenuhi prinsip kekekalan berikut:

$$\text{Massa Awal} = \text{Massa Sisa} + \text{Massa Terurai}$$

Sebagai contoh, ketika kertas $100\text{ gram}$ tersisa $25\text{ gram}$ setelah $16\text{ hari}$, bagian yang telah lepas dan menjadi massa terurai adalah $100 - 25 = 75\text{ gram}$. Dalam berbagai soal ujian, pertanyaan sering kali sengaja menjebak dengan menanyakan massa terurai alih-alih massa sisa.

Dari Kertas ke Simbol

Perkalian bilangan separuh yang diulang beberapa kali direpresentasikan sebagai pangkat eksponensial berdasarkan jumlah siklusnya.

Mari kita terjemahkan pemotongan kertas tadi ke dalam bahasa aljabar matematika. Untuk mencapai hari ke-$24$ dengan interval waktu paruh $8\text{ hari}$, proses pemotongan terjadi sebanyak $3\text{ kali}$, yang didapat dari pembagian waktu:

$$n = \frac{24\text{ hari}}{8\text{ hari}} = 3\text{ siklus}$$

Setiap siklus membagi dua massa sebelumnya. Artinya, massa awal $100\text{ gram}$ dikalikan dengan $\frac{1}{2}$ pada siklus pertama, dikalikan $\frac{1}{2}$ lagi pada siklus kedua, dan dikalikan $\frac{1}{2}$ lagi pada siklus ketiga. Operasi perkalian berulang dari faktor yang sama secara ringkas ditulis dalam bentuk pangkat:

$$N_t = 100 \times \left(\frac{1}{2}\right) \times \left(\frac{1}{2}\right) \times \left(\frac{1}{2}\right) = 100 \times \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 100 \times \frac{1}{8} = 12{,}5\text{ gram}$$

Perhitungan ini membuktikan kebenaran Opsi B ($12{,}5\text{ gram}$).