Bongkar Rumus, Bukan Hitung Paksa

Jebakan Selisih Kuadrat

Bentuk selisih kuadrat $x^2 - y^2$ tidak sama dengan kuadrat selisih $(x - y)^2$.

Bayangkan kamu sedang merapikan kabel ruwet. Daripada langsung mencolokkan kabel yang masih tergulung kusut ke stopkontak—yaitu langsung memasukkan bentuk akar rumit ke dalam kuadrat variabel—jauh lebih aman jika alurnya diluruskan terlebih dahulu dengan menyederhanakan rumusnya.

Mari kita buktikan mengapa $x^2 - y^2 \neq (x - y)^2$ dengan angka bulat sederhana, misalnya $3$ dan $2$:

• Jika kita hitung selisih kuadratnya: $3^2 - 2^2 = 9 - 4 = 5$.

• Sedangkan jika kita hitung kuadrat selisihnya: $(3 - 2)^2 = 1^2 = 1$.

Hasilnya sangat berbeda! Secara aljabar, bentuk $x^2 - y^2$ selalu dapat difaktorkan menjadi perkalian dua suku:

$$x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$$

Diagram di atas menunjukkan bukti geometrisnya: jika sebuah persegi besar dengan luas $x^2$ dipotong sudutnya oleh persegi kecil seluas $y^2$, sisa luasnya membentuk huruf L seluas $x^2 - y^2$. Ketika potongan tersebut dibagi dan disusun ulang, ia tepat membentuk satu persegi panjang dengan panjang $(x + y)$ dan lebar $(x - y)$.

Dengan memfaktorkan pembilang pada pecahan soal menjadi $(x - y)(x + y)$, kita tidak perlu lagi menghitung kuadrat bentuk akar yang melelahkan satu per satu.

Hati-hati Distribusi Minus

Saat mengurangkan ekspresi yang ada di dalam kurung, tanda minus mengalikan setiap suku di dalamnya.

Melanjutkan proses merapikan kabel kita, sekarang kita perlu menyiapkan potongan kabel pertama dari hasil pemfaktoran tadi, yaitu nilai $(x - y)$. Pada soal, diketahui $x = 2 + \sqrt{3}$ dan $y = 2 - \sqrt{3}$.

Ketika menghitung pengurangan dua bentuk aljabar, ekspresi kedua wajib dibungkus dalam tanda kurung penuh. Di sinilah distribusi tanda bekerja:

$$\begin{aligned} x - y &= (2 + \sqrt{3}) - (2 - \sqrt{3}) \\ &= 2 + \sqrt{3} - 2 + \sqrt{3} \\ &= (2 - 2) + (\sqrt{3} + \sqrt{3}) \\ &= 2\sqrt{3} \end{aligned}$$

Perhatikan bahwa tanda minus di depan kurung bertemu dengan tanda minus di depan $\sqrt{3}$, sehingga berubah menjadi tanda tambah ($+\sqrt{3}$). Jika kita lupa mendistribusikan tanda minus ke suku kedua, kita akan keliru menghitungnya menjadi $2 - 2 = 0$ atau malah menganggap akarnya habis.

Sebagai pembanding, mari kita hitung potongan kabel kedua, yaitu penjumlahan $(x + y)$:

$$x + y = (2 + \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3}) = 2 + 2 + \sqrt{3} - \sqrt{3} = 4$$

Jalan Pintas Akar Sekawan

Perkalian dua ekspresi akar sekawan dapat dikerjakan lebih cepat menggunakan aturan selisih kuadrat daripada cara perkalian silang satu per satu.

Bentuk $x = 2 + \sqrt{3}$ dan $y = 2 - \sqrt{3}$ dinamakan pasangan akar sekawan. Keduanya memiliki angka yang persis sama, hanya berbeda tanda penghubung di antara suku rasional dan suku akarnya.

Ketika kita mengalikan dua bentuk sekawan menggunakan perkalian pelangi aljabar (FOIL), suku perkalian bagian "Luar" dan "Dalam" akan selalu berlawanan tanda sehingga saling menghilangkan:

Karena bagian tengahnya pasti saling meniadakan menjadi nol, kita tidak perlu membuang waktu mengalikan silang empat kali. Cukup gunakan aturan selisih kuadrat:

$$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$$

Sekarang kita terapkan untuk mencari nilai penyebut kabel kita, yaitu $xy$:

$$\begin{aligned} xy &= (2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) \\ &= 2^2 - (\sqrt{3})^2 \\ &= 4 - 3 \\ &= 1 \end{aligned}$$

Karena kuadrat dari sebuah akar kuadrat mengembalikan bilangan aslinya ($(\sqrt{3})^2 = 3$), hasilnya langsung menjadi bilangan bulat yang bersih tanpa sisa akar!