Peluang Memilih Tim: Kombinasi dan Logika 'Setidaknya'

Logika Frasa 'Setidaknya'

Frasa 'setidaknya' berarti nilai minimal yang disyaratkan, yang nilainya harus dibatasi oleh kuota pemilihan yang tersedia.

Dalam teori himpunan dan kombinatorika, kondisi pertidaksamaan harus selalu diiriskan dengan semesta batas atas sistem. Pada soal, kita diminta memilih $2$ orang siswa secara keseluruhan. Syarat yang diajukan adalah terpilih setidaknya 2 siswa perempuan. Secara matematis, kata "setidaknya $2$" dapat dituliskan sebagai pertidaksamaan:

$$\text{Banyak siswa perempuan} \ge 2$$

Artinya, jika kuota pemilihan tidak terbatas, kemungkinannya bisa $2, 3, 4,$ atau lebih. Namun, kuota total delegasi yang akan dipilih hanya 2 orang siswa. Akibatnya, nilai maksimum siswa perempuan yang dapat terpilih adalah $2$.

$$\text{Banyak siswa perempuan} \in \{2, 3, 4, \dots\} \cap \{k \le 2\} = \{2\}$$

Dengan demikian, satu-satunya keadaan yang memenuhi syarat tersebut adalah terpilih tepat 2 siswa perempuan. Fokus analisis kita menyempit menjadi: mencari cara memilih $2$ siswa perempuan dari seluruh perempuan yang tersedia.

Kenapa Menggunakan Aturan Kombinasi?

Kombinasi digunakan saat urutan pemilihan objek tidak membedakan hasil akhir suatu kelompok (himpunan tak terurut).

Misalkan dari sekelompok kandidat kita memilih dua siswa: Ani dan Budi. Jika pada urutan penarikan pertama terpilih Ani lalu Budi, himpunan delegasi yang terbentuk adalah $\{\text{Ani}, \text{Budi}\}$. Jika dibalik, Budi terpilih pertama lalu Ani, himpunan delegasinya tetap $\{\text{Budi}, \text{Ani}\}$. Secara aksioma himpunan:

$$\{\text{Ani}, \text{Budi}\} = \{\text{Budi}, \text{Ani}\}$$

Karena kedua urutan tersebut merepresentasikan hasil delegasi yang identik, pembedaan posisi penarikan tidak memiliki arti fisik.

Secara formal, jika urutan penarikan diperhitungkan, banyaknya susunan dihitung dengan Permutasi $P(n, k)$. Namun, karena setiap kelompok beranggotakan $k$ objek memiliki $k!$ cara penyusunan urutan internal yang menghasilkan himpunan yang sama, kita membagi permutasi tersebut dengan $k!$ untuk mengeliminasi duplikasi:

$$C(n, k) = \frac{P(n, k)}{k!} = \frac{n!}{k!(n - k)!}$$

Sebaliknya, permutasi hanya dipakai jika terdapat alokasi posisi yang berbeda terhadap objek yang terpilih (misalnya: penarikan pertama menjadi ketua, penarikan kedua menjadi wakil).

Menentukan Ruang Sampel $n(S)$

Ruang sampel adalah total semua kemungkinan hasil eksperimen yang diperoleh dengan memilih ukuran kuota dari populasi keseluruhan.

Dalam notasi peluang klasik, semesta atau Ruang Sampel ($S$) merepresentasikan seluruh kemungkinan pasangan $2$ siswa yang dapat dibentuk dari total seluruh peserta yang ada, terlepas dari atribut gender mereka. Dari premis soal, total populasi peserta OSN adalah $20$ siswa.

Banyak anggota ruang sampel, dinotasikan dengan $n(S)$, dihitung dengan mengambil subhimpunan berukuran $2$ dari populasi semesta berukuran $20$:

$$n(S) = C(20, 2)$$

Perhitungan formal menggunakan formula kombinasi menghasilkan:

$$n(S) = \frac{20!}{2!(20 - 2)!} = \frac{20 \times 19 \times 18!}{2 \times 1 \times 18!} = \frac{20 \times 19}{2} = 190$$

Nilai $190$ ini menyatakan bahwa ada $190$ pasangan unik yang mungkin terbentuk sebagai perwakilan sekolah. Kuantitas ini akan menjadi nilai penyebut (basis normalisasi) dalam perumusan nilai Peluang pada tahap akhir.