Operasi Akar: Analogi Kotak

Membongkar Akar

Langkah pertama sebelum melakukan operasi akar adalah memastikan apakah akar tersebut bisa dipecah menjadi bentuk yang lebih sederhana.

Bentuk akar yang nilainya belum paling sederhana dapat diuraikan menggunakan sifat perkalian akar:

$$\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$$

Kuncinya adalah menyederhanakan akar dengan mencari faktor kuadrat sempurna terbesar ($4, 9, 16, 25, 36, \dots$) yang habis membagi bilangan di dalam tanda akar. Angka kuadrat sempurna itulah yang bisa ditarik akarnya keluar menjadi bilangan bulat, menyisakan akar terkecil di dalamnya.

Sebagai contoh, mari kita periksa Opsi A dari soal: menyederhanakan $\sqrt{72}$.

Bilangan $72$ bisa dibagi oleh beberapa bilangan kuadrat, seperti $4$, $9$, dan $36$. Agar penyederhanaan langsung tuntas ke bentuk paling ringkas, kita pilih faktor kuadrat terbesar, yaitu $36$:

$$\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = \sqrt{36} \times \sqrt{2} = 6\sqrt{2}$$

Karena hasil perhitungannya tepat sama, maka pernyataan pada Opsi A bernilai Benar.

Analogi Kotak Sejenis

Bentuk akar hanya bisa dijumlahkan atau dikurangkan jika angka di dalam akarnya persis sama, layaknya menghitung barang yang sejenis.

Bayangkan $\sqrt{3}$ sebagai satu buah jenis kotak kayu. Jika kamu memiliki 2 kotak kayu lalu ditambah 3 kotak kayu identik, kamu sekarang memiliki 5 kotak kayu.

Secara matematis, konsep ini bekerja melalui sifat distributif:

$$2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = (2 + 3)\sqrt{3} = 5\sqrt{3}$$

Bentuk-bentuk yang memiliki angka di dalam akar yang persis sama disebut sebagai suku sejenis. Sebaliknya, bagaimana jika kamu dihadapkan pada bentuk $\sqrt{12} + \sqrt{27}$?

Kamu tidak bisa langsung menjumlahkan angka di dalamnya menjadi $\sqrt{12 + 27} = \sqrt{39}$. Mengapa? Karena kedua bentuk tersebut awalnya tampak seperti dua barang yang berbeda jenis.

Eksekusi Langkah per Langkah

Melakukan penyederhanaan pada masing-masing suku secara terstruktur memungkinkan kita mengoperasikan bentuk akar yang awalnya terlihat mustahil digabung.

Mari kita buktikan langkah ini pada Opsi B dari soal: mencari hasil dari $\sqrt{12} + \sqrt{27}$.

Pertama, cari faktor kuadrat sempurna dari masing-masing bilangan:

• $\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$

• $\sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3}$

Keduanya kini terbukti memiliki tipe 'kotak' yang sama, yaitu $\sqrt{3}$. Kita tinggal menjumlahkan koefisien di depannya:

$$2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = (2 + 3)\sqrt{3} = 5\sqrt{3}$$

Hasil ini cocok dengan yang tertulis di soal, sehingga pernyataan pada Opsi B bernilai Benar.

Sekarang, kita terapkan alur yang sama untuk menganalisis Opsi C: mencari hasil dari $\sqrt{50} - \sqrt{18}$.

Ubah masing-masing suku ke bentuk dasarnya:

• $\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}$

• $\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}$

Keduanya merupakan suku sejenis dengan dasar $\sqrt{2}$. Kurangkan koefisiennya dengan teliti:

$$5\sqrt{2} - 3\sqrt{2} = (5 - 3)\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$$

Perhatikan bahwa klaim pada soal menyebutkan hasilnya adalah $3\sqrt{2}$. Klaim ini salah, kemungkinan besar akibat kekeliruan berhitung saat mengurangkan koefisien $5 - 3$. Dengan demikian, pernyataan pada Opsi C bernilai Salah.