SPLTV Tanpa Angka: Trik Pola Siklik

Menyederhanakan Ruas Kanan

Syarat kesamaan ($p = q = r$) memungkinkan kita menggabungkan ketiga persamaan ke dalam satu acuan nilai.

Tiga timbangan pasar klasik dengan piringan kiri berisi benda berbeda dan piringan kanan berisi batu timbangan identik.

Banyak orang langsung merasa bingung atau ingin menyerah saat melihat sistem persamaan yang dipenuhi huruf tanpa angka riil, lalu menebak Opsi E (mengira hubungan $x, y,$ dan $z$ tidak bisa ditentukan). Padahal, kunci utama untuk membongkar sistem ini terletak pada petunjuk sederhana: $p = q = r$.

Karena nilai ruas kanan ketiganya sama, kita bisa mengganti simbol $q$ dan $r$ langsung dengan $p$. Ketiga persamaan tersebut kini memiliki patokan beban yang seragam di sisi kanan:

  1. $ax + by + cz = p$

  2. $bx + cy + az = p$

  3. $cx + ay + bz = p$

Bayangkan tiga timbangan pasar di atas. Piringan kiri berisi susunan barang yang berbeda-beda, tetapi piringan kanan pada tiap timbangan dipasangi batu timbangan yang persis sama, yaitu bernilai $p$. Keseragaman ruas kanan inilah modal utama kita untuk melakukan eliminasi antar-persamaan.

Eliminasi Persamaan Berhuruf

Mengurangkan dua persamaan yang ruas kanannya sama akan menghasilkan persamaan homogen (ruas kanan bernilai nol).

Setelah ketiga persamaan memiliki ruas kanan bernilai $p$, kita dapat melakukan eliminasi. Kita kurangkan Persamaan (1) dengan Persamaan (2) secara teliti langkah demi langkah:

$$(ax + by + cz) - (bx + cy + az) = p - p$$

Ruas kanan menjadi $p - p = 0$. Persamaan dengan ruas kanan bernilai nol seperti ini dinamakan persamaan homogen. Sekarang, kumpulkan suku-suku dengan variabel yang sama:

$$(ax - bx) + (by - cy) + (cz - az) = 0$$

$$(a - b)x + (b - c)y + (c - a)z = 0 \quad \text{---(4)}$$

Dengan cara yang sama, kurangkan Persamaan (2) dengan Persamaan (3):

$$(bx + cy + az) - (cx + ay + bz) = p - p$$

$$(bx - cx) + (cy - ay) + (az - bz) = 0$$

$$(b - c)x + (c - a)y + (a - b)z = 0 \quad \text{---(5)}$$

Diberikan dua persamaan linear: $mx + ny = k$ $nx + my = k$ Jika persamaan pertama dikurangi persamaan kedua, hasil pengelompokan variabel yang tepat adalah...

  • $(m-n)x + (n-m)y = 0$
  • $(m+n)x + (n+m)y = 0$
  • $(m-n)x - (n-m)y = 0$
  • $(m-n)x + (n-m)y = k$

Jawaban: $(m-n)x + (n-m)y = 0$

Saat mengurangkan kedua persamaan, ruas kanan menjadi $k - k = 0$. Pada ruas kiri, suku bervariabel sejenis dikelompokkan: $(mx - nx) + (ny - my) = (m-n)x + (n-m)y$. Opsi B salah karena menjumlahkan persamaan alih-alih mengurangkan. Opsi C salah pada tanda suku $y$. Opsi D salah karena tidak mengurangkan ruas kanan.

Mengelompokkan variabel saat mengurangkan dua persamaan linear aljabar.

Menganalisis Persamaan Homogen

Jika jumlah koefisien suatu persamaan homogen adalah nol, maka variabel bernilai sama ($x = y = z$) adalah salah satu solusinya.

Mari amati kembali koefisien pada Persamaan (4):

$$(a - b)x + (b - c)y + (c - a)z = 0$$

Jika kita menjumlahkan seluruh koefisien di depan variabel $x, y,$ dan $z$, kita menemukan pola yang menarik:

$$(a - b) + (b - c) + (c - a) = a - b + b - c + c - a = 0$$

Sekarang, coba bayangkan jika ketiga variabel tersebut bernilai sama besar, katakanlah bernilai suatu konstanta $k$ sehingga $x = y = z = k$. Saat nilai $k$ ini disubstitusikan ke dalam persamaan, kita peroleh:

$$(a - b)k + (b - c)k + (c - a)k = k \big( (a - b) + (b - c) + (c - a) \big) = k(0) = 0$$

Persamaan langsung terbukti benar. Hal yang sama juga berlaku persis pada Persamaan (5), di mana jumlah koefisiennya $(b - c) + (c - a) + (a - b)$ juga bernilai nol.