Mengurai Aljabar Harga dan Permintaan

Mencari Angka Tanpa Rumus Baru

Kita tidak wajib memiliki rumus invers terlebih dahulu untuk mengetahui jumlah unit suatu produk; kita bisa mensubstitusikan nilai harga langsung ke persamaan awal.

Dalam bisnis minuman boba, bayangkan $p$ sebagai harga jual per cup (dalam ribuan rupiah) dan $q$ sebagai jumlah gelas boba yang laku terjual. Misalkan sebuah kios boba memiliki fungsi permintaan $p = 100 - 2q$. Jika ingin menguji Opsi C saat harga ditetapkan menjadi $\text{Rp}60.000,00$ ($p = 60$), kita tidak perlu panik membalik rumus variabel terlebih dahulu. Cukup gantikan huruf $p$ langsung dengan angka $60$.

Persamaan awal menjadi $60 = 100 - 2q$. Dari visual timbangan di atas, kita melihat bahwa memindahkan suku beraljabar melintasi tanda sama dengan ($=$) setara dengan menyeimbangkan bobot timbangan menggunakan operasi lawan. Pindahkan suku $-2q$ ke Ruas Kiri menjadi $+2q$, lalu pindahkan angka $60$ ke Ruas Kanan menjadi $-60$:

$$2q = 100 - 60$$

$$2q = 40 \implies q = 20$$

Perhitungan ini membuktikan bahwa Opsi C benar: pada tingkat harga tersebut, boba yang laku adalah sebanyak $20$ unit. Menyisipkan angka secara langsung adalah strategi cepat ketika kita hanya perlu menguji satu nilai numerik spesifik tanpa harus menurunkan rumus baru.

Misalkan untuk produk boba jenis lain berlaku fungsi harga $p = 50 - 5q$. Harga boba $p$ ditentukan sebesar 20. Tentukan benar atau salah pernyataan mengenai metode penyelesaiannya!

Kita bisa langsung menuliskan 20 = 50 - 5q di awal hitungan. — Benar
Kita wajib mengubah persamaannya menjadi q = ... sebelum memasukkan angka 20. — Salah

Pernyataan 1 Benar karena nilai numerik p = 20 dapat langsung menggantikan variabel p pada fungsi aslinya p = 50 - 5q menjadi 20 = 50 - 5q. Pernyataan 2 Salah karena kita tidak wajib mengubah rumus ke bentuk q = ... terlebih dahulu; substitusi bisa dilakukan langsung di awal maupun setelah rumus ditata ulang.

Substitusi nilai numerik bisa langsung dimasukkan ke fungsi asli tanpa memanipulasi persamaannya.

Langkah Tepat Membangun Invers

Fungsi invers dibentuk dengan menerapkan operasi balikan secara utuh pada kedua ruas, bukan sekadar membalik tanda negatif menjadi positif secara visual.

Tebakan visual seperti pada Opsi A ($q = 100 + 2p$) sangat menggoda karena terlihat praktis: tanda kurang langsung ditukar menjadi tambah dan variabelnya ditukar posisi. Namun, cara tebak pola ini merusak kebenaran matematis. Coba kita cek: jika harga $p = 0$, fungsi asli $p = 100 - 2q$ memberi hasil $0 = 100 - 2q \implies q = 50$. Sementara tebakan Opsi A malah menghasilkan $q = 100 + 2(0) = 100$, dua kali lipat lebih banyak dari kenyataannya! Rumus invers yang sejati dibutuhkan ketika seorang penjual boba ingin menghitung target penjualan untuk puluhan daftar harga berbeda secara berulang tanpa harus mengulang pindah ruas dari nol setiap saat.

Untuk menemukan rumus invers yang akurat dari $p = 100 - 2q$, kita isolasi variabel $q$ langkah demi langkah:

Pindahkan suku yang memuat $q$ agar bernilai positif dengan menambah $2q$ pada kedua ruas:
$$p + 2q = 100 \implies 2q = 100 - p$$
Bagi seluruh suku di kedua ruas dengan angka $2$ agar koefisien di depan $q$ bernilai $1$:
$$q = \frac{100 - p}{2} = \frac{100}{2} - \frac{p}{2}$$
$$q(p) = 50 - 0{,}5p$$

Hasil penurunan yang sah ini memastikan bahwa Opsi B benar, sedangkan Opsi A salah. Pembagian tidak boleh hanya diterapkan pada variabel saja atau konstanta saja; setiap suku pada ruas seberang berhak dibagi sama rata.

Misalkan dari data penjualan boba bulan lalu diperoleh persamaan $4q = 80 - 2p$. Bentuk fungsi invers $q$ dalam variabel $p$ yang benar dari persamaan tersebut adalah...

$q = 80 - 0{,}5p$
$q = 20 - 0{,}5p$
$q = 20 - 2p$
$q = 80 + 2p$

Jawaban: $q = 20 - 0{,}5p$

Bentuk yang benar adalah Opsi B ($q = 20 - 0{,}5p$). Untuk mengisolasi $q$, kedua ruas dibagi dengan koefisien 4: konstanta 80 dibagi 4 menjadi 20, dan koefisien -2 dibagi 4 menjadi -0,5. Opsi A salah karena lupa membagi konstanta 80. Opsi C salah karena lupa membagi suku variabel $p$. Opsi D salah karena hanya menukar tanda kurang menjadi tambah tanpa membagi persamaan.

Mengisolasi variabel tunggal dengan membagi seluruh suku di ruas seberangnya secara merata.

Menguji Opsi dengan Rumus Baru

Menggunakan fungsi invers yang tepat memudahkan pengecekan perhitungan ke berbagai nilai secara konsisten dan menghindarkan dari angka yang tidak logis.

Sekarang kita pegang rumus invers yang valid dari Opsi B, yaitu $q(p) = 50 - 0{,}5p$. Mari kita gunakan rumus ini untuk menguji pernyataan pada harga-harga berikutnya:

Menguji Opsi D ($p = 95$):
$$q(95) = 50 - 0{,}5(95) = 50 - 47{,}5 = 2{,}5 \text{ unit}$$
Jumlah permintaan yang sebenarnya hanya $2{,}5$ unit, bukan $290$ unit. Pernyataan pada Opsi D jelas salah. Dari mana angka jebakan $290$ itu berasal? Angka tersebut muncul jika harga $95$ dimasukkan ke dalam rumus tebakan keliru di Opsi A, yaitu $100 + 2(95) = 290$. Ini membuktikan bahwa kesalahan aljabar di awal akan merambat menghasilkan kesimpulan ekonomi yang sama sekali tidak masuk akal: harga makin mahal tetapi boba yang terjual justru meroket.
Menguji Opsi E ($p = 80$):
$$q(80) = 50 - 0{,}5(80) = 50 - 40 = 10 \text{ unit}$$
Hasil hitungan ini persis sama dengan pernyataan pada opsi, sehingga Opsi E terbukti benar.

Pola penurunan dan pembalikan rumus aljabar linear seperti ini adalah alat serbaguna yang akan terus kamu gunakan di berbagai materi lain, mulai dari konversi satuan suhu ($^\circ\text{C}$ ke $^\circ\text{F}$), perhitungan fungsi biaya produksi, hingga analisis kurva penawaran pasar.