Mengurai Misteri Fungsi Kuadrat

Langkah Awal: Menemukan 'b' dengan Substitusi

Pernahkah kamu melihat teka-teki matematika di mana kamu harus menebak angka yang hilang? Soal fungsi kuadrat ini pada dasarnya adalah permainan detektif mencari angka yang hilang, yaitu $a$ dan $b$.

Untuk memulainya, kita dikasih petunjuk pertama yang paling jelas: grafik fungsi $f(x) = x^2 - bx + 11$ melalui titik $(1, 6)$.

Mari kita terjemahkan petunjuk geometri ini ke dalam bahasa aljabar:

  1. Kita tahu $f(1) = 6$.

  2. Substitusikan $x = 1$ ke dalam rumus fungsi: $f(1) = 1^2 - b(1) + 11$.

  3. Samakan hasilnya dengan $6$: $6 = 1 - b + 11$.

  4. Selesaikan persamaan sederhananya: $6 = 12 - b$, sehingga kita dapatkan $b = 6$.

Satu misteri terpecahkan! Sekarang fungsi kita sudah lebih lengkap menjadi $f(x) = x^2 - 6x + 11$. Ini adalah fondasi penting sebelum kita beranjak mencari nilai $a$.

Jika diketahui sebuah grafik fungsi f(x) melalui titik (2, 5), penulisan aljabar mana yang paling tepat untuk menggambarkan kondisi tersebut?

  • A. x = 2 dan y = 5
  • B. f(y) = x
  • C. f(2) = 5
  • D. f(5) = 2

Jawaban: C. f(2) = 5

Jika grafik melalui titik (2, 5), maka nilai x=2 dan y=5. Artinya, fungsi f akan menghasilkan 5 jika kita memasukkan nilai 2, atau f(2) = 5.

Titik yang dilalui grafik berarti substitusi koordinat x ke fungsi menghasilkan koordinat y.

Misteri Dua Kemungkinan Nilai 'a'

Dengan fungsi utuh $f(x) = x^2 - 6x + 11$, kita masuk ke petunjuk kedua: grafik melalui titik $(a, 3)$.

Menggunakan konsep substitusi yang sama seperti sebelumnya, kita masukkan nilai $x = a$ dan disamakan dengan $3$: $f(a) = 3$ $a^2 - 6a + 11 = 3$

Kalau dipindah ke satu ruas, kita dapat persamaan kuadrat baru: $a^2 - 6a + 8 = 0$

Jika difaktorkan menjadi $(a - 2)(a - 4) = 0$, kita mendapat dua kemungkinan jawaban: $a = 2$ atau $a = 4$. Lho, kenapa bisa ada dua nilai $a$ dari satu titik?

Itulah alasan geometris mengapa kita mendapat dua jawaban. Parabola memotong garis mendatar $y = 3$ tepat di titik saat $x = 2$ dan saat $x = 4$. Jadi, titik $(a, 3)$ bisa saja merujuk pada titik $(2, 3)$ di sisi kiri, atau titik $(4, 3)$ di sisi kanan. Keduanya valid menurut persamaan ini.

Lalu, mana $a$ yang sebenarnya diminta oleh soal? Kita butuh petunjuk ketiga!

Jika kamu mensubstitusikan titik (a, 5) ke fungsi kuadrat dan mendapatkan persamaan yang menghasilkan a = 1 atau a = 5, apa makna visual dari dua angka ini?

  • A. Titik puncaknya berada di y=5
  • B. Parabola memotong garis y=5 di dua titik x yang berbeda
  • C. Persamaan kuadrat tidak memiliki solusi
  • D. Nilai a bisa berapa saja

Jawaban: B. Parabola memotong garis y=5 di dua titik x yang berbeda

Dua solusi (a=1 dan a=5) menunjukkan bahwa di ketinggian y=5, terdapat dua lokasi x pada parabola, karena parabola berbentuk U memotong garis horizontal di dua tempat.

Garis horizontal y=c memotong kurva parabola maksimal di dua titik karena bentuknya yang U.

Seleksi Nilai Valid: Syarat Ketiga

Karena matematika menuntut konsistensi, nilai konstanta $a$ dalam satu soal tidak boleh berubah-ubah. Nilai $a$ yang benar haruslah memenuhi semua petunjuk yang diberikan soal.

Mari gunakan petunjuk terakhir: grafik juga melalui titik $(a+3, 6)$. Secara aljabar, kita masukkan lagi ke fungsi yang sama: $f(a+3) = 6$ $(a+3)^2 - 6(a+3) + 11 = 6$

Jika kita jabarkan satu per satu: $a^2 + 6a + 9 - 6a - 18 + 11 = 6$ $a^2 + 2 = 6$ $a^2 = 4$

Dari $a^2 = 4$, kita kembali mendapatkan dua kemungkinan: $a = 2$ atau $a = -2$.

Sekarang coba bandingkan:

Satu-satunya nilai $a$ yang bisa membuat kedua kondisi tersebut sama-sama benar adalah $a = 2$. Teka-teki angka $a$ akhirnya terpecahkan!

Dalam sebuah soal yang berbeda, mencari nilai k menghasilkan Syarat 1: k={-3, 3} dan Syarat 2: k={3, 5}. Tentukan Benar/Salah untuk pernyataan berikut!

  • Nilai k = 3 adalah solusi yang valid untuk soal tersebut. — Benar
  • Nilai k = -3 juga merupakan solusi yang valid karena memenuhi syarat pertama. — Salah
  • Kamu bisa memilih bebas antara k=3 atau k=5 asalkan konsisten dari awal. — Salah

Nilai k harus konsisten untuk seluruh bagian soal. Karena irisan dari Syarat 1 dan Syarat 2 adalah k=3, maka k=3 adalah satu-satunya nilai yang valid. k=-3 dan k=5 tidak memenuhi kedua syarat sekaligus.

Nilai konstanta yang valid harus memenuhi seluruh persamaan yang diberikan secara bersamaan (irisan).