Membongkar Limit Perkalian & Trik Akar Sekawan

Sifat Sakti Perkalian Limit

Pernah lihat bentuk soal limit yang panjang dan rumit? Jangan panik dulu. Dalam matematika, masalah besar sering kali bisa dipecahkan dengan membelahnya jadi bagian-bagian kecil.

Di soal ini, kita punya sebuah fungsi gabungan yang tampak mengerikan: $\lim_{y \rightarrow 3} \left( g(y) \cdot \frac{x-3}{\sqrt{x}-\sqrt{3}} \right)$

Nah, Teorema Limit punya satu sifat yang sangat berguna, yaitu Sifat Perkalian Limit. Sifat ini bilang kalau limit dari sebuah perkalian itu sama dengan perkalian dari masing-masing limitnya, asalkan nilai limit masing-masing bagiannya memang ada.

Artinya, kita bisa memecah monster di atas jadi dua bagian yang lebih jinak: $\lim_{y \rightarrow 3} g(y) \times \lim_{y \rightarrow 3} \left( \frac{x-3}{\sqrt{x}-\sqrt{3}} \right)$

Soal sudah berbaik hati ngasih tahu kita kalau $g$ kontinu di $y=3$ dan $\lim_{y \rightarrow 3} g(y) = 2$. Syarat "kontinu" di sini itu penjamin kalau grafik fungsi $g$ di titik itu nggak bolong, jadi nilai fungsinya persis sama dengan nilai limitnya.

Karena bagian pertama udah beres (nilainya 2), sekarang tugas kita tinggal berburu nilai limit buat si pecahan.

Misteri Variabel x dan y

Saat mau nge-limit bagian pecahan, mungkin kamu nyadar ada yang aneh. Limitnya minta kita mendekati $y \rightarrow 3$, tapi di dalam pecahannya kok malah pakai huruf $x$?

$\lim_{y \rightarrow 3} \left( \frac{x-3}{\sqrt{x}-\sqrt{3}} \right)$

Secara matematika murni, kalau limit bergerak buat $y$, maka huruf $x$ di dalam sana akan dianggap sebagai konstanta (angka biasa yang nggak berubah). Kalau beneran begitu, hasil akhirnya pasti masih bakal ngandung huruf $x$.

Tapi coba lirik opsi jawabannya. Semuanya berupa angka pasti (mutlak), nggak ada $x$ sama sekali! Ini adalah sinyal rahasia dari pembuat soal.

ilustrasi

Dalam ujian pilihan ganda, ketidaksesuaian antar variabel kayak gini hampir selalu berarti salah ketik alias typo. Jadi, gimana nyikapinnya? Gampang, anggap aja mereka variabel yang sama. Kita asumsikan maksud soal adalah mencari limit saat $x \rightarrow 3$.

Jika di soal tertulis limit untuk y -> 3 tetapi fungsinya hanya memuat variabel x, sementara opsi jawabannya berupa angka, langkah apa yang paling masuk akal diambil saat ujian?

  • A. Terjadi salah ketik, anggap saja fungsinya menggunakan y atau limitnya x -> 3
  • B. Hasilnya pasti nol karena variabelnya tidak cocok
  • C. Fungsi tidak terdefinisi dan limit tidak ada
  • D. Kita harus mengintegralkan fungsinya dulu

Jawaban: A. Terjadi salah ketik, anggap saja fungsinya menggunakan y atau limitnya x -> 3

Dalam soal dengan jawaban berupa angka murni, variabel yang berbeda antara indeks limit dan fungsi adalah tanda salah ketik. Kita dapat menyamakannya agar soal bisa diselesaikan.

Perbedaan variabel antara limit dan fungsi dalam soal pilihan ganda berjawaban angka murni umumnya adalah salah ketik (typo).

Jebakan Lubang 0/0

Oke, sekarang kita fokus ke masalah utamanya: menyelesaikan limit pecahannya dengan $x \rightarrow 3$. $\lim_{x \rightarrow 3} \frac{x-3}{\sqrt{x}-\sqrt{3}}$

Langkah nomor satu setiap ketemu soal limit adalah selalu Substitusi Langsung. Coba kita masukkan angka 3 ke dalam fungsi.

Waduh, hasilnya $0/0$! Apakah ini berarti jawabannya nol? Atau tidak ada?

Jangan panik! $0/0$ itu namanya Bentuk Tak Tentu. Ini bukan hasil akhir, melainkan sebuah sinyal bahwa fungsi ini sedang "menyembunyikan" wujud aslinya.

Bentuk $0/0$ berarti di titik $x=3$ grafiknya bolong (tidak terdefinisi), tapi nilai limitnya (nilai yang dituju dari kiri dan kanan) kemungkinan besar ada. Penyebab munculnya 0/0 ini adalah adanya faktor yang sama di atas dan di bawah yang sama-sama bernilai nol saat $x=3$. Kita harus mencari cara aljabar buat "membedah" dan menyingkirkan biang kerok penyebab nol tersebut.