Menyaring Bilangan dengan Syarat Kelipatan

Syarat 1: Filter Digit Satuan

Syarat kelipatan 5 adalah filter paling kuat karena langsung menentukan digit satuan bilangan.

Soal menyebutkan bahwa $p + 1$ adalah kelipatan 5. Aturan keterbagian menyatakan bahwa suatu bilangan merupakan kelipatan 5 jika digit satuan (angka paling belakang)-nya adalah $0$ atau $5$.

Diagram alur filter pertama menentukan digit terakhir bilangan p

Mari kita telusuri dua kemungkinan untuk nilai $p$:

Jika $p + 1$ berakhiran $0$, maka $p$ pasti berakhiran $9$ (karena $9 + 1 = 10$).
Jika $p + 1$ berakhiran $5$, maka $p$ pasti berakhiran $4$ (karena $4 + 1 = 5$).

Namun, ingat syarat utama: $p$ adalah bilangan prima. Semua bilangan prima lebih dari 2 adalah bilangan ganjil. Bilangan yang berakhiran $4$ adalah bilangan genap dan pasti habis dibagi 2, sehingga bukan bilangan prima. Akibatnya, kemungkinan berakhiran 4 gugur!

Kesimpulannya, nilai $p$ harus berakhiran $9$. Daftar buronan kita sekarang langsung terpangkas rapi menjadi: $9, 19, 29, 39, 49, \dots$.

Sebuah bilangan ganjil $x$ memenuhi kondisi bahwa $x+2$ adalah kelipatan 5. Berapakah digit satuan (terakhir) dari bilangan $x$?

Jawaban: 3

Kelipatan 5 selalu memiliki digit satuan 0 atau 5. Jika $x+2$ berakhiran 0, maka $x$ berakhiran 8 (genap, tidak memenuhi syarat $x$ ganjil). Jika $x+2$ berakhiran 5, maka $x$ berakhiran $5 - 2 = 3$ (ganjil, memenuhi syarat). Jadi, digit terakhir dari $x$ adalah 3.

Menentukan digit terakhir bilangan berdasarkan syarat kelipatan 5.

Syarat 2: Uji Satu Per Satu

Daftar kandidat dari syarat pertama diuji ke syarat kedua untuk mempersempit pilihan dan menemukan pola baru.

Dari filter pertama, kita sudah memegang daftar kandidat: $9, 19, 29, 39, 49, \dots$. Sekarang, terapkan filter kedua dari soal: $p - 1$ harus merupakan kelipatan 4.

Mari kita perhatikan hasil pengujian di atas:

$9 - 1 = 8$ (habis dibagi 4 $\rightarrow$ Lolos)
$19 - 1 = 18$ (tidak habis dibagi 4 $\rightarrow$ Gagal)
$29 - 1 = 28$ (habis dibagi 4 $\rightarrow$ Lolos)
$39 - 1 = 38$ (tidak habis dibagi 4 $\rightarrow$ Gagal)
$49 - 1 = 48$ (habis dibagi 4 $\rightarrow$ Lolos)

Kandidat yang bertahan adalah $9, 29, 49, \dots$. Perhatikan bahwa bilangan-bilangan yang lolos ini melompat setiap $20$ angka ($9 + 20 = 29$, $29 + 20 = 49$). Angka $20$ ini muncul secara alami karena merupakan Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari $5$ (syarat pertama) dan $4$ (syarat kedua).

Syarat 3: Filter Terakhir

Kandidat yang tersisa diuji pada syarat terakhir, lalu dipastikan keprimaannya sebagai validasi akhir.

Dengan pola lompatan 20, barisan kandidat kita adalah: $9, 29, 49, 69, 89, 109, 129, 149, \dots$. Sekarang, masukkan ke filter ketiga: $p + 4$ harus merupakan kelipatan 9. Ciri bilangan kelipatan 9 sangat khas, yaitu jumlah seluruh digit bilangannya harus habis dibagi 9.

Tabel pengujian kandidat terhadap syarat p+4 kelipatan sembilan

Mari kita uji kandidat-kandidat terdekat:

Untuk $p = 109 \rightarrow p + 4 = 113$. Jumlah digit: $1 + 1 + 3 = 5$ (Bukan kelipatan 9).
Untuk $p = 129 \rightarrow p + 4 = 133$. Jumlah digit: $1 + 3 + 3 = 7$ (Bukan kelipatan 9).
Untuk $p = 149 \rightarrow p + 4 = 153$. Jumlah digit: $1 + 5 + 3 = 9$. Karena 9 habis dibagi 9, maka $153$ adalah kelipatan 9 (Lolos!).

Langkah penutup: pastikan $149$ memang benar-benar bilangan prima. Cukup uji pembagian dengan bilangan prima kecil yang kuadratnya kurang dari $149$ (yaitu 2, 3, 5, 7, dan 11):

Ganjil (tidak habis dibagi 2).
Jumlah digit $1+4+9 = 14$ (tidak habis dibagi 3).
Digit satuan bukan 0 atau 5 (tidak habis dibagi 5).
$149 = 7 \times 21 + 2$ (tidak habis dibagi 7).
$149 = 11 \times 13 + 6$ (tidak habis dibagi 11).

Karena tidak ada faktor prima selain 1 dan dirinya sendiri, $149$ terbukti prima. Inilah mengapa Opsi A ($149$) adalah jawaban yang benar.

Sebuah bilangan $y$ ditulis dalam bentuk 23A, dengan A menyatakan digit satuan. Jika diketahui bahwa $y+2$ merupakan bilangan kelipatan 9, berapakah nilai A?

Jawaban: 2

Bilangan $y+2$ memiliki bentuk $23(A+2)$ selama tidak terjadi carry-over. Syarat bilangan habis dibagi 9 adalah jumlah semua digitnya habis dibagi 9. Maka, $2 + 3 + (A+2) = A + 7$ harus merupakan kelipatan 9. Nilai digit $A$ yang memenuhi adalah 2 karena $2 + 7 = 9$. Jika $A=4$, itu adalah kesalahan jika menganggap $y$ langsung kelipatan 9 ($2+3+4=9$).

Menerapkan ciri kelipatan 9 pada penjumlahan digit sebuah bilangan.