Bedah Cepat Sn Kuadratik & Taktik Deret

Trik Kilat Membedah $S_n$ Kuadratik

Sering kali kita dikasih rumus jumlahan suku ke-$n$ ($S_n$) dalam bentuk fungsi kuadrat, misalnya $S_n = n^2 - 6n$, lalu disuruh nyari deret aslinya. Bukannya pusing ngitung $U_n = S_n - S_{n-1}$ yang makan waktu, ada pola cantik yang wajib kamu tau!

Bentuk umum rumus jumlahan deret aritmatika pasti berupa fungsi kuadrat tanpa konstanta: $S_n = An^2 + Bn$.

Dari bentuk ini, kita bisa langsung dapat dua informasi penting:

Beda ($b$) selalu dua kali lipat koefisien $n^2$. Jadi, $b = 2A$.
Suku pertama ($a$) adalah nilai saat $n=1$. Jadi, $a = S_1 = A + B$.

Mari kita terapkan ke soal kita: $S_n = 1n^2 - 6n$.

Koefisien $n^2$ adalah $A = 1$. Maka beda aslinya $b = 2(1) = 2$.
Suku pertamanya adalah $S_1 = 1^2 - 6(1) = -5$.

Jika diketahui jumlahan n suku pertama suatu deret aritmatika adalah $S_n = 3n^2 + 5n$, berapakah beda (b) dari deret tersebut?

A. 3
B. 5
C. 6
D. 8

Jawaban: C. 6

Beda deret selalu 2 kali lipat koefisien n^2. Karena koefisien n^2 adalah 3, maka beda = 2 * 3 = 6.

Pada deret dengan rumus S_n = An^2 + Bn, beda deretnya selalu 2A.

Deret Melompat, Bedanya Juga Melompat

Setelah dapat nilai $a = -5$ dan $b = 2$ dari barisan asli, kita diminta mencari nilai jumlahan: $U_2 + U_4 + U_6 + \dots + U_{2n}$

Perhatikan baik-baik, deret ini nggak ngambil semua suku! Kita cuma ngambil suku-suku berindeks genap. Artinya, kita lagi bikin deret aritmatika baru yang melompat-lompat.

Suku pertamanya bukan lagi $U_1$, melainkan $U_2$. Kita hitung: $U_2 = a + b = -5 + 2 = -3$.
Beda deret barunya juga berubah! Karena kita melompat satu suku (dari $U_2$ langsung ke $U_4$), jaraknya jadi dua langkah. Beda deret baru ($b_{baru}$) = $2 \times b_{asli} = 2 \times 2 = 4$.

Sebuah barisan aritmatika memiliki beda $b = 5$. Jika kita membuat deret baru yang hanya berisi $U_1, U_4, U_7, U_{10}, \dots$, berapakah beda deret yang baru ini?

A. 5
B. 10
C. 15
D. 20

Jawaban: C. 15

Jarak indeks dari U_1 ke U_4 adalah 3 lompatan. Maka beda deret baru adalah 3 dikali b = 3 * 5 = 15.

Beda deret baru adalah kelipatan beda asli sesuai jarak lompatan indeksnya.

Taktik Ujian: Membaca Maksud Pembuat Soal

Secara matematis, deret $U_2 + U_4 + U_6 + \dots + U_{2n}$ sebenarnya hanya terdiri dari $n$ suku. Coba bayangkan kalau $n=3$, sukunya cuma ada $U_2, U_4, U_6$ (pas 3 suku kan?).

Kalau kita kaku pakai rumus jumlah $n$ suku deret baru (dengan suku awal $-3$ dan beda $4$), hasilnya: $S'_{n} = \frac{n}{2}(2(-3) + (n-1)4) = 2n^2 - 5n$ Lho, kok hasil ini nggak ada di opsi jawaban?

Di sinilah seninya ikut ujian! Kadang pembuat soal salah memakai notasi $U_{2n}$ dengan maksud "jumlahkan deret ini sebanyak $2n$ suku". Mari kita ikuti jalan pikirannya dan hitung jumlah untuk $2n$ suku:

$S'_{2n} = \frac{2n}{2}(2(-3) + (2n-1)4)$ $= n(-6 + 8n - 4)$ $= n(8n - 10)$ $= 8n^2 - 10n$