Bongkar Pasang Kombinasi: Partisi Kelompok
Mengeliminasi Syarat yang Sudah Pasti
Langkah pertama sebelum menghitung peluang atau cara adalah mengeliminasi kondisi yang sudah pasti. Dalam soal kombinatorika dengan batasan khusus, kita tidak perlu memusingkan objek atau posisi yang sudah ditetapkan sejak awal.
Bayangkan situasi saat membagi siswa ke dalam kelompok kerja. Jika seorang ketua kelompok sudah langsung ditunjuk masuk ke kelompok tertentu, kamu tidak perlu mengundi namanya lagi bersama siswa lainnya. Hal yang sama berlaku pada penempatan bunga ini:
Sebanyak $2$ dari $12$ tangkai bunga sudah memiliki takdir tetap: $1$ tangkai mawar merah sudah pasti masuk ke Vas Merah, dan $1$ tangkai lili putih sudah pasti berada di Vas Putih.
Kita mencari Sisa Semesta bunga yang masih bebas dialokasikan:
$$12 - 2 = 10 \text{ tangkai bunga}$$
Kapasitas tiap wadah pun otomatis berkurang sesuai objek yang telah mengisinya:
Vas Merah: awalnya $3$ tangkai, berkurang $1 \rightarrow$ sisa kapasitas $2$ slot.
Vas Putih: awalnya $5$ tangkai, berkurang $1 \rightarrow$ sisa kapasitas $4$ slot.
Vas Biru: belum terisi sama sekali $\rightarrow$ tetap memiliki kapasitas $4$ slot.
P atau C? Memahami Urutan Tak Penting
Jika posisi di dalam sebuah wadah tidak membedakan hasil akhir, gunakan Kombinasi ($C$), bukan Permutasi ($P$).
Kembali ke analogi membagi siswa ke dalam kelompok kerja: saat kamu memilih Andi lalu Budi untuk masuk ke kelompok belajar yang sama, hasilnya akan sama persis dengan kamu memilih Budi terlebih dahulu baru kemudian Andi. Susunan anggota kelompoknya tetaplah pasangan {Andi, Budi}.
Hal ini berlaku utuh pada penempatan bunga di dalam vas:
Memasukkan bunga mawar A lalu bunga melati B ke dalam Vas Merah menghasilkan rangkaian vas yang wujud akhirnya identik dengan memasukkan bunga melati B terlebih dahulu baru bunga mawar A.
Posisi internal di dalam vas tidak memiliki tingkatan (tidak ada juara 1, juara 2, atau jabatan ketua dan wakil).
Karena urutan pengambilan tidak menghasilkan susunan baru, wadah ini merupakan himpunan tak terurut (unordered set), sehingga alat matematika yang kita gunakan wajib berupa Kombinasi ($C$).
Seorang juru masak ingin membuat segelas jus kombinasi rasa dengan memilih 3 jenis buah dari 8 jenis buah yang tersedia di dapur. Banyaknya kombinasi rasa jus berbeda yang dapat diracik sebaiknya dihitung menggunakan...
- Kombinasi, karena urutan buah yang dimasukkan ke blender tidak membedakan jenis jus yang dihasilkan.
- Permutasi, karena urutan pengambilan buah menentukan dominasi komposisi dan lapisan rasa minuman.
- Aturan Penjumlahan, karena tiap jenis buah merupakan varian pilihan mandiri yang saling lepas.
- Kaidah Perkalian langsung, karena proses pengambilan ketiga buah berlangsung satu demi satu berurutan.
Jawaban: Kombinasi, karena urutan buah yang dimasukkan ke blender tidak membedakan jenis jus yang dihasilkan.
Urutan memasukkan buah ke blender tidak mengubah racikan akhir jus (apel + mangga + jeruk sama saja dengan jeruk + apel + mangga). Karena urutan tidak berpengaruh pada himpunan anggota di dalam wadah, konsep yang tepat adalah Kombinasi. Pengecoh B keliru karena mengasumsikan urutan berpengaruh pada hasil akhir, sedangkan Opsi C dan D keliru memperlakukan proses pemilihan sampel tanpa memperhatikan sifat himpunan tak terurut.
Penentuan penggunaan Kombinasi jika urutan tidak membedakan hasil.
Memperbarui Sisa Semesta Bertahap
Setiap kali sejumlah objek dialokasikan, jumlah pilihan (Sisa Semesta) untuk wadah berikutnya harus dikurangi sebesar objek yang sudah diambil. Objek yang sudah diletakkan di suatu kelompok tidak boleh dihitung kembali seolah-olah ia masih tersedia di meja.
Mari kita telusuri alokasi sisa $10$ bunga bebas ke dalam tiga vas secara bertahap:
Mengisi Sisa Vas Merah (butuh 2 bunga): Dari $10$ bunga bebas yang tersedia, kita memilih $2$ bunga:
$$C(10, 2) = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45 \text{ cara}$$
Mengisi Sisa Vas Putih (butuh 4 bunga): Perhatikan jebakannya: Jangan memilih dari $10$ bunga lagi! Karena $2$ bunga sudah masuk ke Vas Merah, Sisa Semesta sekarang tinggal $10 - 2 = 8$ bunga:
$$C(8, 4) = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70 \text{ cara}$$
Mengisi Vas Biru (butuh 4 bunga): Setelah $4$ bunga dimasukkan ke Vas Putih, sisa bunga yang ada di meja tinggal $8 - 4 = 4$ bunga terakhir:
$$C(4, 4) = \frac{4!}{4!(4-4)!} = 1 \text{ cara}$$
Dalam kegiatan pramuka, terdapat 10 anak yang akan dibagi ke beberapa regu. Pertama dibentuk regu A beranggotakan 3 anak, kemudian regu B beranggotakan 4 anak. Tentukan Benar atau Salah untuk tiap pernyataan berikut:
- Pemilihan 3 anggota untuk regu A dari 10 anak bebas dihitung dengan C(10,3). — Benar
- Pemilihan 4 anggota untuk regu B selanjutnya langsung dihitung dengan C(10,4). — Salah
Pernyataan 1 Benar karena saat memilih anggota regu A, seluruh 10 anak masih tersedia, sehingga banyak caranya adalah C(10,3). Pernyataan 2 Salah karena setelah 3 anak terpilih ke regu A, anak yang tersisa tinggal 10 - 3 = 7 orang. Oleh karena itu, pemilihan regu B harus dihitung dari sisa anak tersebut, yaitu C(7,4), bukan C(10,4). Mengabaikan pengurangan semesta merupakan miskonsepsi umum dalam partisi himpunan.
Kewajiban memperbarui sisa pilihan (semesta) setelah sebagian objek dipilih.