Menyibak Sisa Pembagian Polinomial

Identitas Pembagian Aljabar

Setiap pembagian polinomial dapat ditulis sebagai persamaan identitas: yang dibagi sama dengan pembagi dikali hasil bagi ditambah sisa.

Dalam notasi aljabar formal, relasi pembagian untuk polinomial $g(x)$ dengan pembagi $P(x)$, hasil bagi $H(x)$, dan sisa $S(x)$ dinyatakan sebagai:

Prinsip ini bekerja seperti kesetimbangan aljabar yang absolut. Artinya, kesamaan antara ruas kiri dan ruas kanan berlaku untuk setiap nilai $x$ bilangan real mana pun yang dipilih.

Sering kali bentuk aljabar dari hasil bagi $H(x)$ tidak diketahui dan sangat rumit untuk dicari, terutama jika derajat fungsi asal mencapai ribuan seperti $x^{2024}$ atau $x^{2025}$. Kunci untuk mengatasi ketidaktahuan ini adalah melenyapkan suku yang memuat $H(x)$.

Jika kita memilih nilai $x$ yang merupakan pembuat nol dari pembagi $P(x)$ (yaitu nilai $x$ yang membuat $P(x) = 0$), maka suku perkalian $P(x) \cdot H(x)$ otomatis menjadi $0 \cdot H(x) = 0$. Akibatnya, pada titik-titik tersebut, nilai fungsi asal $g(x)$ langsung setara dengan nilai fungsi sisanya, $S(x)$.

Pada persoalan kita, pembagi yang diberikan adalah bentuk kuadrat:

Pembuat nol dari pembagi ini adalah $x = 1$ dan $x = -1$. Kedua nilai inilah yang menjadi kunci pembuka untuk mengevaluasi fungsi tanpa perlu mengetahui hasil bagi $H(x)$.

Mengevaluasi Nilai Sisa

Nilai fungsi pada pembuat nol pembagi selalu sama persis dengan nilai sisa fungsi tersebut.

Berdasarkan kesetimbangan aljabar yang absolut dari pembagian $g(x) = (x^2 - 1)H(x) + S(x)$, kita telah mengetahui bahwa pembagi $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$ menghasilkan dua nilai pembuat nol, yaitu $x = 1$ dan $x = -1$. Sisa pembagian yang diberikan pada soal adalah fungsi linear $S(x) = 7x - 5$.

Langkah berikutnya adalah mengevaluasi nilai sisa pada masing-masing pembuat nol tersebut:

1. Untuk pembuat nol $x = 1$: $$g(1) = (1^2 - 1)H(1) + S(1) = 0 + (7(1) - 5) = 2$$ Dengan demikian, nilai fungsi $g(1)$ terbukti bernilai $2$.

2. Untuk pembuat nol $x = -1$: $$g(-1) = ((-1)^2 - 1)H(-1) + S(-1) = 0 + (7(-1) - 5) = -12$$ Dengan demikian, nilai fungsi $g(-1)$ terbukti bernilai $-12$.

Membentuk Sistem Persamaan

Substitusi akar-akar pembagi ke dalam fungsi utama akan membentuk sistem persamaan linear pengungkapan variabel.

Fungsi asal yang diberikan pada soal adalah:

Meskipun memuat pangkat besar, evaluasi pada $x = 1$ dan $x = -1$ sangat teratur karena sifat eksponen bilangan cacah:

• Pada $x = 1$: $1^{2024} = 1$ dan $1^{2025} = 1$.

• Pada $x = -1$: $(-1)^{2024} = 1$ (karena pangkat genap) dan $(-1)^{2025} = -1$ (karena pangkat ganjil).

Sekarang, perhatikan dengan cermat suku ketiga yaitu $-P(x-3)^2$. Operasi kuadrat dilakukan terhadap kurung $(x-3)$ terlebih dahulu, lalu dikalikan dengan $-P$:

• Untuk $x = 1$:

• Untuk $x = -1$:

Dengan menyamakan hasil evaluasi ini ke nilai fungsi sisa yang telah diperoleh sebelumnya ($g(1) = 2$ dan $g(-1) = -12$), kita peroleh dua persamaan linear:

Untuk $x = 1$:

Untuk $x = -1$: