Trik Menaklukkan Hitungan Campuran

Menyamakan Mata Uang Angka

Persen, desimal, dan pecahan campuran wajib diubah ke satu bentuk yang seragam (biasanya pecahan biasa) sebelum operasi hitung bisa dilakukan.

Bayangkan kita ingin menjumlahkan $1\text{ Dolar}$ dengan $10.000\text{ Rupiah}$. Tentu kita tidak bisa langsung menjumlahkannya menjadi $10.001$, karena satuannya berbeda. Begitu pula dalam matematika: mengoperasikan berbagai bentuk bilangan ibarat memegang mata uang yang berlainan. Kita harus menukarnya ke satu jenis satuan yang sama terlebih dahulu agar nilainya valid untuk dihitung bersama.

Diagram mesin konversi yang mengubah persen, desimal, dan pecahan campuran menjadi pecahan biasa.

Mari kita masukkan setiap bentuk angka dari soal awal ke dalam proses konversi:

Persen ke pecahan biasa: Persen artinya per seratus. Nilai $20\%$ ditulis sebagai $\frac{20}{100}$, lalu disederhanakan dengan membagi pembilang dan penyebut dengan $20$ sehingga menjadi $\frac{1}{5}$.
Desimal ke pecahan biasa: Bilangan $0{,}25$ memiliki dua angka di belakang koma, yang berarti $\frac{25}{100}$. Jika disederhanakan dengan membagi keduanya dengan $25$, hasilnya adalah $\frac{1}{4}$.
Pecahan campuran ke pecahan biasa: Pada $1\frac{2}{3}$, kalikan bilangan bulat dengan penyebut, lalu tambahkan pembilangnya: $(1 \times 3) + 2 = 5$. Hasilnya menjadi $\frac{5}{3}$.

Setelah semua komponen seragam dalam bentuk pecahan biasa, ekspresi hitung sekarang menjadi aman untuk dieksekusi: $\left(\frac{3}{4} - \frac{1}{5}\right) \times \frac{5}{3} + \frac{1}{4}$.

Bentuk pecahan biasa yang paling sederhana dari $40\%$ dan $0{,}75$ adalah...

4/10 dan 7/10
2/5 dan 3/4
2/5 dan 3/5
1/4 dan 3/4

Jawaban: 2/5 dan 3/4

Bentuk persen berarti per seratus: $40\% = \frac{40}{100} = \frac{2}{5}$. Untuk bilangan desimal dua angka di belakang koma: $0{,}75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$. Opsi A belum disederhanakan penuh dan salah menaksir desimal; opsi C keliru saat menyederhanakan $0{,}75$; opsi D tertukar mengira $40\%$ bernilai seperempat.

Mengubah desimal dan persen menjadi pecahan biasa paling sederhana

Jalur VIP Urutan Operasi

Operasi dalam tanda kurung selalu dikerjakan pertama, disusul perkalian/pembagian, barulah penjumlahan/pengurangan di akhir.

Dalam matematika, kita mengenal hierarki urutan operasi hitung:

Tanda Kurung (Parentheses)
Perkalian dan Pembagian (Multiplication & Division)
Penjumlahan dan Pengurangan (Addition & Subtraction)

Mengerjakan hitungan secara lurus dari kiri ke kanan tanpa memedulikan aturan ini akan mengacaukan hasil akhirnya.

Flowchart vertikal urutan prioritas operasi hitung matematika.

Dari ekspresi yang telah kita seragamkan, yaitu $\left(\frac{3}{4} - \frac{1}{5}\right) \times \frac{5}{3} + \frac{1}{4}$:

Bagian $\left(\frac{3}{4} - \frac{1}{5}\right)$ memegang tiket VIP karena berada di dalam tanda kurung. Kita samakan penyebutnya menggunakan KPK dari $4$ dan $5$, yaitu $20$. Hasilnya adalah $\frac{15}{20} - \frac{4}{20} = \frac{11}{20}$.
Setelah kurung tuntas, kita mendapati $\frac{11}{20} \times \frac{5}{3} + \frac{1}{4}$. Prioritas berikutnya adalah operasi perkalian, bukan penjumlahan. Kita selesaikan perkalian terlebih dahulu: $\frac{11 \times 5}{20 \times 3} = \frac{55}{60}$, yang disederhanakan menjadi $\frac{11}{12}$.

Perhatikan ekspresi ini: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \times \frac{3}{4}$

Penjumlahan 1/2 dan 1/3 harus dikerjakan terlebih dahulu karena berada di paling kiri. — Salah
Bagian 1/3 x 3/4 dikerjakan lebih dulu sesuai aturan prioritas operasi. — Benar

Pernyataan 1 Salah karena dalam aturan prioritas aritmetika, perkalian selalu lebih kuat daripada penjumlahan, sehingga tidak boleh langsung dihitung dari kiri ke kanan. Pernyataan 2 Benar karena bagian $\frac{1}{3} \times \frac{3}{4}$ wajib diselesaikan mendahului operasi penjumlahan jika tidak terdapat tanda kurung.

Aturan prioritas urutan operasi pada campuran penjumlahan dan perkalian

Jebakan di Langkah Terakhir

Menjumlahkan pecahan dengan penyebut berbeda mengharuskan kita mencari KPK penyebutnya; tidak boleh sekadar menjumlahkan pembilang dan penyebut secara langsung atau asal mengubah angka.

Kini kita tiba pada tahap akhir penyelesaian: $\frac{11}{12} + \frac{1}{4}$. Di sinilah letak jebakan yang sering memicu kekeliruan perhitungan. Sebagian orang keliru mengira pecahan $\frac{1}{4}$ sama nilainya dengan $\frac{4}{12}$ (hanya mengalikan pembilangnya dengan $4$), yang berujung pada $\frac{11}{12} + \frac{4}{12} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}$ seperti pada Opsi E yang keliru.

Diagram lingkaran potongan pizza membuktikan bahwa 1/4 senilai dengan 3/12.

Langkah yang benar adalah menyamakan penyebut menggunakan KPK dari $12$ dan $4$, yaitu $12$. Untuk mengubah penyebut $4$ menjadi $12$, kita harus mengalikan pembilang dan penyebutnya sekaligus dengan $3$. Pecahan $\frac{1}{4}$ setara persis dengan $\frac{3}{12}$, sebagaimana seiris pizza dari $4$ bagian sama besarnya dengan $3$ iris kecil dari total $12$ irisan.

Sekarang kita bisa menjumlahkan pembilangnya dengan aman:

$$\frac{11}{12} + \frac{3}{12} = \frac{14}{12}$$

Bentuk $\frac{14}{12}$ dapat disederhanakan dengan membagi pembilang dan penyebut dengan $2$, sehingga diperoleh $\frac{7}{6}$. Ini membuktikan bahwa Opsi B adalah jawaban yang benar.