Trik Manipulasi Bentuk Eksponen
Modelmu Sudah Benar!
Pertama-tama, kerjaanmu menganalisis waktu udah akurat banget! Kamu berhasil menerjemahkan $1{,}5$ jam menjadi $90$ menit, lalu membaginya dengan interval $15$ menit. Hasilnya: $6$ kali pembelahan.
Model awalmu, yaitu $10 \times 2^6$, adalah representasi matematika yang sangat jujur dari apa yang terjadi di dunia nyata. Angka ini menceritakan kisah yang pas: Ada $10$ bakteri di awal, yang membelah jadi dua (dikali $2$), sebanyak $6$ kali berturut-turut.
Gambar: User:ZabMilenko, CC BY-SA 3.0 — Wikimedia Commons
Coba kita perhatikan bagaimana pertumbuhan itu terjadi secara visual seiring berjalannya waktu:
Masalahnya sekarang cuma satu: kita harus mencocokkan wujud aslimu ini dengan "kostum" yang ada di pilihan ganda. Pembuat soal ingin angka di depan (koefisien) adalah $5$, bukan $10$. Gimana cara merubah bentuknya tanpa merubah jumlah bakterinya?
Membedah Angka 10
Kalau kita punya $10$ bakteri awal, bagaimana caranya biar secara visual dan matematis muncul angka $5$ di depan tanpa ngurangin populasi aslinya?
Jawabannya sederhana: Kelompokkan!
Sebanyak $10$ bakteri individu itu nilainya sama persis dengan $5$ pasang bakteri (yakni $5$ kelompok, yang masing-masing isinya $2$ bakteri).
Secara matematika, kita cuma menulis ulang (mengubah wujud) tanpa merubah jumlah aslinya. Angka $10$ kita ganti bajunya menjadi perkalian faktornya, yaitu $(5 \times 2)$.
Sekarang, model kita wujudnya sedikit berubah menjadi: $(5 \times 2) \times 2^6$. Tapi, ini belum selesai karena kita harus menggabungkan angka $2$-nya!
Jika suatu soal lain meminta jumlah awal bakteri (12 bakteri) agar koefisien di depannya menjadi angka 3, bagaimana kamu memecah bentuk 12 tersebut?
- A. 3 x 4
- B. 3 + 9
- C. 3 x 2
- D. 12 / 4
Jawaban: A. 3 x 4
Sama seperti 10 menjadi 5 x 2, 12 bakteri bisa dikelompokkan menjadi 3 kelompok yang masing-masing berisi 4 bakteri (3 x 4).
Memecah koefisien awal menjadi faktor perkalian yang sesuai dengan bentuk yang diminta opsi tanpa mengubah nilainya.
Ke Mana Perginya Angka 2?
Sekarang kita punya bentuk $(5 \times 2) \times 2^6$. Angka $5$ yang kita inginkan udah dapet. Tapi, apa yang terjadi sama angka $2$ yang baru kita lepas dari angka $10$ tadi?
Karena angka $2$ ini adalah faktor perkalian, ia bisa langsung bergabung dengan rombongan pembelahan yang ada di belakangnya!
Mari kita bedah maknanya secara fisis. Bentuk $(5 \times 2) \times 2^6$ sama maknanya dengan: "Kita punya $5$ kelompok yang masing-masing isinya $2$ bakteri, lalu semuanya membelah $6$ kali."
Karena setiap kelompok di awal memang sudah menggandakan jumlah menjadi $2$, itu sama persis dengan menceritakan: "Kita mulai dari $5$ bakteri tunggal, lalu kita biarkan mereka membelah $7$ kali."
Berdasarkan sifat dasar eksponen jika basisnya sama ($a^m \times a^n = a^{m+n}$), kita cukup menjumlahkan pangkatnya: $2^1 \times 2^6 = 2^{1+6} = 2^7$. Hasil akhirnya adalah $5 \times 2^7$.
Berdasarkan sifat eksponen yang sama, bentuk 20 x 2^4 bisa diubah menjadi bentuk yang bernilai ekuivalen di bawah ini, KECUALI...
- A. 10 x 2^5
- B. 5 x 2^6
- C. 5 x 2^5
- D. 40 x 2^3
Jawaban: C. 5 x 2^5
Bentuk asal 20 x 2^4 = (10 x 2) x 2^4 = 10 x 2^5. Jika diurai lagi jadi (5 x 4) x 2^4 = 5 x 2^2 x 2^4 = 5 x 2^6. Opsi C salah karena nilainya berbeda (hanya separuh).
Sifat eksponen memungkinkan kita memindah faktor (seperti angka 2) dari koefisien ke dalam eksponen tanpa merubah nilai total.