Aljabar Deret Selang-Seling

Anatomi Sebuah Pasangan

Mari kita lihat lagi deret yang bikin pusing tadi: $1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + \dots + 99 - 100$.

Kelihatannya deret ini membesar terus angkanya, dari $1$ sampai $100$. Tapi, alih-alih melihatnya sebagai daftar panjang $100$ angka yang terpisah, coba kita kelompokkan setiap dua angka yang bersebelahan.

Kalau kita berikan "kurung" pada setiap pasang ganjil-genap: $(1 - 2) + (3 - 4) + (5 - 6) + \dots + (99 - 100)$

Apa yang terjadi kalau kita selesaikan operasi di dalam kurung dulu?

• $1 - 2 = -1$

• $3 - 4 = -1$

• $5 - 6 = -1$

• $\dots$

Kunci dari soal deret selang-seling (alternating series) yang berurutan adalah mencari "pasangan" yang punya selisih atau jumlah yang konstan.

Jebakan Setengah Jalan

Kamu awalnya sudah sadar kalau ada $100$ angka di soal ini, dan karena dipasangkan dua-dua, pasti ada hubungannya sama $50$. Tapi hati-hati, $50$ itu apanya?

Banyak siswa yang terjebak di sini. Mereka berhasil menghitung ada $\frac{100}{2} = 50$ kelompok, lalu langsung menjawab $50$.

Nilai total deret adalah banyak pasangan dikali nilai per pasangan.

Karena ada $50$ kelompok, dan setiap kelompok nilainya adalah $-1$, maka kita sedang menambahkan angka $-1$ sebanyak $50$ kali.

Total = $\text{Banyak Pasangan} \times \text{Nilai per Pasangan}$ Total = $50 \times (-1) = -50$.

Itulah kenapa hasilnya menjadi negatif!

Formalisasi Aljabar: Suku ke-$k$

Kalau kamu suka aljabar, kita bisa membuktikan bahwa selisih $-1$ ini bukan kebetulan, melainkan hukum mutlak dari deret tersebut.

Mari kita formulasikan. Kita namai pasangan pertama sebagai pasangan ke-$1$ ($k=1$), pasangan kedua $k=2$, dan seterusnya sampai $k = 50$.

Di dalam setiap pasangan, selalu ada angka ganjil yang dikurangi angka genap.

• Suku ganjil selalu bisa ditulis sebagai: $2k - 1$

• Suku genap setelahnya selalu bisa ditulis sebagai: $2k$

Apa yang terjadi kalau sepasang suku ke-$k$ ini kita kurangi? $(2k - 1) - 2k$

Kita sederhanakan aljabarnya: $= 2k - 2k - 1$ $= -1$