Trik Rahasia: Pola Jumlah dan Kali
Jebakan Klasik Aljabar
Bentuk $x^2 + y^2$ tidak sama dengan $(x+y)^2$ karena ada suku tengah yang hilang.
Di lembar ujian, salah satu jebakan yang paling sering memakan korban adalah menganggap operasi kuadrat bisa langsung didistribusikan ke masing-masing suku di dalam tanda kurung. Ketika melihat $x + y = 10$, godaan terbesarnya adalah langsung mengkuadratkan $10$ menjadi $100$. Inilah alasan mengapa Opsi E bernilai $100$, dan opsi tersebut merupakan jebakan.
Secara aljabar, penjabaran dari kuadrat binomial adalah:
$$(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$$
Tentukan apakah pernyataan berikut benar atau salah terkait penjabaran aljabar.
- Bentuk dari $(p+q)^2$ adalah $p^2 + q^2$. — Salah
- Nilai dari $(p+q)^2$ akan selalu lebih besar dari $p^2 + q^2$ jika $p$ dan $q$ adalah bilangan positif. — Benar
Pernyataan 1 salah karena penjabaran kuadrat binomial $(p+q)^2$ menghasilkan suku tengah $2pq$, yaitu $p^2 + 2pq + q^2$. Pernyataan 2 benar karena jika $p$ dan $q$ adalah bilangan positif, maka suku tengah $2pq$ bernilai positif sehingga nilai $(p+q)^2$ pasti lebih besar dari $p^2 + q^2$.
Penjabaran bentuk binomial murni memuat suku tengah.
Rumus Kilat Ujian
Bentuk $x^2 + y^2$ bisa didapatkan dengan mengisolasi variabelnya dari rumus penjabaran kuadrat.
Karena penjabaran identitas kuadrat menghasilkan $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$, kita bisa memodifikasi persamaan ini agar langsung menuju bentuk yang dicari. Cukup pindahkan suku tengah $2xy$ ke ruas kiri:
$$x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy$$
Pola rumus praktis inilah yang menghubungkan nilai jumlah $(x + y)$ dan hasil kali $(xy)$ yang sering menjadi modal awal pada soal ujian.
Diketahui nilai $m+n$ dan $mn$. Pola operasi mana yang tepat untuk mencari nilai $m^2 + n^2$?
- Kuadratkan nilai $(m+n)$, lalu kurangi dengan $2mn$.
- Kuadratkan langsung nilai $(m+n)$.
- Kuadratkan nilai $(m+n)$, lalu kurangi dengan $mn$.
- Kuadratkan nilai $(m+n)$, lalu kurangi dengan $4mn$.
Jawaban: Kuadratkan nilai $(m+n)$, lalu kurangi dengan $2mn$.
Dari identitas $(m+n)^2 = m^2 + 2mn + n^2$, mengisolasi $m^2 + n^2$ menghasilkan $(m+n)^2 - 2mn$, sehingga Opsi A benar. Opsi B salah karena mengabaikan suku tengah $2mn$. Opsi C salah karena lupa mengalikan koefisien 2. Opsi D salah karena menghasilkan $(m-n)^2$.
Bentuk manipulasi rumus untuk mencari jumlah kuadrat.
Eksekusi Akhir
Substitusi nilai yang diketahui ke dalam pola rumus yang sudah diatur ulang akan memberikan jawaban akhir.
Gunakan rumus yang telah diturunkan pada langkah sebelumnya:
$$x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy$$
Lakukan substitusi nilai dari soal, yaitu $x + y = 10$ dan $xy = 20$:
$$x^2 + y^2 = (10)^2 - 2(20)$$
$$x^2 + y^2 = 100 - 40 = 60$$
Hasil perhitungan ini menunjukkan bahwa jawaban yang tepat adalah Opsi C.