Eksponen & Analogi Menang Beruntun

Kasino Bakteri: Aturan Main

Bayangkan kamu sedang masuk ke sebuah kasino dengan membawa modal awal berupa $10$ koin. Di sana, kamu memutuskan untuk bermain di satu meja khusus: meja Double or Nothing (lipat gandakan atau hangus sama sekali).

Aturan mainnya sederhana. Setiap $15$ menit, bandar akan memutar rolet. Setiap kali itu terjadi, kamu memasang semua modal yang kamu pegang (all-in). Hebatnya, di meja ini kamu diramalkan selalu menang! Artinya, uangmu akan selalu menjadi $2$ kali lipat dari sebelumnya, setiap $15$ menit sekali.

Berapa Ronde Kamu Main?

Sekarang pertanyaannya, kalau kamu nongkrong di meja kasino itu selama $1{,}5$ jam, berapa ronde kamu ikut taruhan?

Kamu tidak bisa langsung memakai angka $1{,}5$ jam ke dalam rumus. Waktu total harus dibagi dengan durasi satu ronde untuk tahu berapa kali proses pelipatgandaan terjadi.

Langkah pertama yang pantang dilewati: samakan dulu satuan waktunya!

• Waktu main (total waktu) = $1{,}5$ jam = $90$ menit.

• Waktu satu ronde (interval pembelahan) = $15$ menit.

Untuk mendapatkan nilai $n$ (jumlah ronde kemenanganmu atau jumlah proses pembelahan), tinggal kita bagi:

Menghitung Total Kemenangan

Setelah mengetahui modal awal dan jumlah ronde, mari kita hitung total kemenanganmu (atau total populasi bakteri akhir).

Di ronde 1, modalmu menjadi $10 \times 2$. Di ronde 2, menjadi $10 \times 2 \times 2$. Kalau kamu main sampai ronde ke-$n$, berarti kamu mengalikan angka $2$ sebanyak $n$ kali. Di sinilah bentuk eksponen (pangkat) berguna sebagai cara singkat menuliskan perkalian berulang.

Rumus inti pertumbuhan eksponensial sebenarnya hanya:

$\text{Total} = \text{Modal Awal} \times (\text{Pengali})^{\text{Jumlah Ronde}}$

Dengan modal awal $10$ koin dan kemenangan berturut-turut sebanyak $6$ ronde, bentuk eksponen sementaranya adalah $10 \times 2^6$.