Membongkar Simetri Barisan Geometri

Mengenal Sifat Simetri

Perkalian dua suku yang posisinya simetris terhadap suku tengah akan menghasilkan kuadrat dari suku tengah tersebut.

Bayangkan pohon keluarga bakteri: mula-mula ada $1$ bakteri yang membelah menjadi $2$, lalu generasi berikutnya menjadi $4$, $8$, $16$, $32$, $64$, dan $128$. Dalam matematika, urutan bilangan dengan pelipatgandaan tetap seperti ini dinamakan Barisan Geometri, dan faktor pengali tetap antarsukunya disebut Rasio. Posisi urutan tiap bilangan ditandai oleh Indeks Suku, misalnya generasi pertama adalah $U_1 = 2$ dan generasi ketujuh adalah $U_7 = 128$.

Sekarang, mari amati keajaiban saat kita mengalikan suku-sukunya. Ambil tiga suku berurutan: $4, 8, 16$. Kalikan kedua ujungnya: $4 \times 16 = 64$. Lalu kuadratkan suku yang berada persis di tengah: $8^2 = 64$. Nilainya sama persis!

Hal yang sama berlaku meski jaraknya kita perlebar. Misalnya suku pertama ($U_1 = 2$) dan suku ketujuh ($U_7 = 128$). Jika kita kalikan:

$$U_1 \times U_7 = 2 \times 128 = 256$$

Suku yang berada persis di tengah antara urutan ke-$1$ dan ke-$7$ adalah suku ke-$4$, yaitu $U_4 = 16$. Kuadratkan suku tengah ini:

$$(U_4)^2 = 16^2 = 256$$

Sifat simetri ini bekerja karena saat suku sebelah kiri kekurangan faktor Rasio, suku pasangannya di sebelah kanan memiliki kelebihan faktor pengali yang persis sama besar. Ketika kedua suku tersebut dikalikan, kelebihan dan kekurangannya saling mengimbangi secara sempurna. Kita cukup melihat rata-rata dari Indeks Suku yang dikalikan: karena $\frac{1 + 7}{2} = 4$, maka perkalian $U_1 \times U_7$ otomatis setara dengan $(U_4)^2$.

Mencari Suku Tengah

Empat suku yang dikalikan dapat disederhanakan menjadi pangkat empat dari suku tengahnya.

Kembali ke analogi pohon keluarga bakteri, ketika perkalian melibatkan banyak generasi sekaligus, kita tidak perlu mengalikan nilainya satu per satu. Kita bisa memasangkan generasi yang saling melengkapi terhadap generasi tengah. Prinsip simetri ini langsung memecahkan teka-teki pertama pada soal:

$$a_1 a_3 a_5 a_7 = \frac{1}{1296}$$

Perhatikan empat suku ganjil tersebut: $a_1, a_3, a_5, a_7$. Semuanya tersebar rapi di sekitar suku tengah $a_4$. Mari kita pasangkan suku paling ujung dengan ujung, serta suku bagian dalam dengan bagian dalam:

$$(a_1 \times a_7) \times (a_3 \times a_5) = \frac{1}{1296}$$

Berdasarkan sifat simetri yang sudah kita pelajari:

• Pasangan ujung: karena $\frac{1 + 7}{2} = 4$, maka $a_1 \times a_7 = (a_4)^2$.

• Pasangan dalam: karena $\frac{3 + 5}{2} = 4$, maka $a_3 \times a_5 = (a_4)^2$.

Kalikan kedua pasangan tersebut:

$$(a_4^2) \times (a_4^2) = a_4^4$$

Persamaan awal yang terlihat rumit kini menyusut menjadi satu suku saja:

$$a_4^4 = \frac{1}{1296}$$

Karena $1296 = 6^4$, kita peroleh:

$$a_4^4 = \left(\frac{1}{6}\right)^4$$

Mengingat seluruh suku pada barisan adalah bilangan riil positif, kita tarik akar pangkat empat dan mendapatkan nilai tunggal:

$$a_4 = \frac{1}{6}$$

Mencari Lompatan Rasio

Rasio dapat dicari dengan membandingkan dua suku yang diketahui jaraknya.

Setelah mengetahui nilai suku tengah $a_4 = \frac{1}{6}$, langkah berikutnya adalah memanfaatkan informasi kedua dari soal:

$$a_2 + a_4 = \frac{7}{36}$$

Substitusikan nilai $a_4$ yang sudah kita peroleh:

$$a_2 + \frac{1}{6} = \frac{7}{36}$$

$$a_2 = \frac{7}{36} - \frac{6}{36} = \frac{1}{36}$$

Kini kita memiliki nilai dari dua suku genap, yaitu $a_2 = \frac{1}{36}$ dan $a_4 = \frac{1}{6}$.

Ingat kembali bagaimana Barisan Geometri bertumbuh: untuk melangkah dari satu suku ke suku berikutnya, nilainya dikalikan dengan Rasio ($r$). Dari suku ke-$2$ ($a_2$) menuju suku ke-$4$ ($a_4$), terjadi tepat dua kali pelipatgandaan:

$$a_4 = a_2 \times r \times r = a_2 \times r^2$$

Hubungan ini memberi kita nilai kuadrat dari rasio:

$$r^2 = \frac{a_4}{a_2} = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{36}} = \frac{1}{6} \times 36 = 6$$

Perhatikan bahwa kita tidak perlu repot-repot mencari nilai $r = \sqrt{6}$. Mengapa? Karena pada langkah selanjutnya, semua indeks yang ditanyakan pada soal berjarak kelipatan genap, sehingga bentuk kuadrat $r^2 = 6$ inilah yang justru akan langsung digunakan.