Faktorisasi Persamaan Aljabar Diofantin

Mengapa Substitusi Bisa Berbahaya?

Saat melihat persamaan seperti $xy + 2x + y = 18$, insting pertama kita mungkin adalah mencoba-coba angka (substitusi). Misalnya, kita masukkan $x = 1$, ketemu $y = 8$. Lalu $x = 2$, eh $y$-nya pecahan. Lanjut terus satu per satu.

Metode tebak-tebakan ini sebenarnya punya kelemahan fatal:

1. Sangat melelahkan dan berisiko. Bagaimana kalau jawaban yang benar ada di $x = 145$?

2. Tidak menjamin kepastian. Dari mana kita tahu kalau kita sudah menemukan semua kemungkinan solusi dan mendapatkan nilai minimum yang absolut?

Persamaan yang solusinya dibatasi hanya pada bilangan bulat (seperti soal ini) disebut Persamaan Diofantin.

Untuk menyelesaikannya secara elegan dan pasti, kita butuh sebuah trik. Tujuannya satu: mengubah ruas kiri yang berupa penjumlahan suku-suku yang terpisah, menjadi bentuk perkalian dua kurung.

Dengan bentuk perkalian $(...)(...) = \text{Konstanta}$, kita punya kendali penuh atas teka-teki ini. Anggap saja kita sedang membongkar sebuah gembok dengan kunci yang tepat!

Membongkar Pola Perkalian

Untuk bisa mengubah bentuk penjumlahan menjadi perkalian, kita harus memahami anatomi dari perkalian aljabar itu sendiri. Mari kita bedah bentuk umum $(x + B)(y + A)$ menggunakan sifat distributif (perkalian pelangi).

Langkah 1: Kita kalikan satu per satu. $(x + B)(y + A) = x(y + A) + B(y + A)$

Langkah 2: Sebarkan nilai di luar kurung. $= xy + Ax + By + AB$

Sekarang, mari kita bandingkan bentuk lengkap yang baru saja kita bongkar ($xy + Ax + By + AB$) dengan bagian kiri persamaan soal kita ($xy + 2x + 1y$).

Kita punya suku $xy$. Kita punya suku dengan $x$ tunggal (koefisiennya $A = 2$). Kita punya suku dengan $y$ tunggal (koefisiennya $B = 1$).

Tapi, kalau kamu jeli, ada satu bagian yang hilang di soal kita agar bentuknya bisa dilipat kembali menjadi kurung. Kita butuh suku konstanta $AB$!

Menambahkan Konstanta "Ajaib"

Teknik memanipulasi persamaan dengan menambahkan angka tertentu agar bisa difaktorkan ini sering disebut sebagai Simon's Favorite Factoring Trick (SFFT) di dunia olimpiade matematika.

Dari halaman sebelumnya, kita tahu bahwa persamaan soal kita adalah $xy + 2x + 1y = 18$.

• Koefisien untuk $x$ adalah $A = 2$.

• Koefisien untuk $y$ adalah $B = 1$.

Agar sisi kiri bisa "dilipat" sempurna menjadi bentuk $(x + 1)(y + 2)$, kita wajib memiliki suku $AB$, yaitu $2 \times 1 = 2$.

Jadi, kita tambahkan angka $2$ ke kedua ruas persamaan: $xy + 2x + y + \mathbf{2} = 18 + \mathbf{2}$

Sekarang, kita bisa mengelompokkannya (faktorisasi): $x(y + 2) + 1(y + 2) = 20$ $\mathbf{(x + 1)(y + 2) = 20}$

Coba mainkan timbangan di bawah ini untuk melihat bagaimana konstanta tambahan menyeimbangkan persamaan!

Dengan bentuk baru yang sudah difaktorkan ini, pencarian nilai akan jauh lebih terarah daripada mencoba-coba angka secara buta.