Membongkar Fungsi Kuadrat dari Grafik
Langkah Pertama Membaca Grafik
Titik potong dengan sumbu-Y adalah informasi paling cepat untuk menemukan nilai $c$ pada fungsi kuadrat.
Bentuk umum dari fungsi kuadrat adalah $f(x) = ax^2 + bx + c$. Saat nilai $x = 0$, suku $ax^2$ dan $bx$ otomatis bernilai nol, menyisakan $f(0) = c$. Secara visual, titik ini berada tepat di mana kurva memotong sumbu vertikal (sumbu-Y).
Pada grafik soal, kurva memotong sumbu-Y di titik $(0, 3)$. Tanpa perlu perhitungan panjang, kita langsung mendapatkan nilai $c = 3$.
Mencari a dan b dari Titik Lain
Titik-titik lain di grafik digunakan untuk membuat sistem persamaan agar nilai $a$ dan $b$ dapat ditemukan.
Setelah 'sidik jari' pertama memberikan nilai $c = 3$, persamaan fungsinya kini menjadi $f(x) = ax^2 + bx + 3$. Sekarang giliran dua titik lain yang dilewati kurva, yaitu $(-1, 6)$ dan $(1, 2)$, yang bertindak sebagai petunjuk lanjutan untuk mengungkap koefisien $a$ dan $b$.
Substitusikan titik $(-1, 6)$ dengan memasukkan $x = -1$ dan $f(x) = 6$:
$$6 = a(-1)^2 + b(-1) + 3 \implies 6 = a - b + 3 \implies a - b = 3$$
Lakukan hal serupa untuk titik $(1, 2)$ dengan memasukkan $x = 1$ dan $f(x) = 2$:
$$2 = a(1)^2 + b(1) + 3 \implies 2 = a + b + 3 \implies a + b = -1$$
Dengan menjumlahkan kedua persamaan $(a - b = 3)$ dan $(a + b = -1)$, kita memperoleh $2a = 2$, sehingga $a = 1$. Masukkan $a = 1$ ke salah satu persamaan untuk mendapatkan $b = -2$.
Sebuah fungsi kuadrat memiliki nilai $c = 5$ dan grafiknya melewati titik $(2, 9)$. Persamaan linear apa yang terbentuk setelah mensubstitusikan koordinat titik tersebut ke $f(x) = ax^2 + bx + 5$?
- $4a + 2b = 4$
- $2a + b = 4$
- $4a + 2b = 9$
- $a + b = 4$
Jawaban: $4a + 2b = 4$
Substitusi $x = 2$ dan $f(x) = 9$ ke dalam $f(x) = ax^2 + bx + 5$ menghasilkan $9 = a(2)^2 + b(2) + 5 \implies 9 = 4a + 2b + 5 \implies 4a + 2b = 4$ (Opsi A benar). Opsi B keliru karena lupa mengkuadratkan $x$ pada suku $ax^2$. Opsi C keliru karena lupa mengurangkan konstanta $5$ dari ruas nilai $y$. Opsi D keliru karena mengabaikan pengali $x$.
Mensubstitusi sebuah titik ke dalam fungsi kuadrat untuk membentuk sebuah persamaan linear.
Eksekusi Diskriminan
Nilai diskriminan dihitung dengan memasukkan nilai $a$, $b$, dan $c$ ke dalam rumusnya, dan tanda hasilnya harus sesuai dengan sifat visual grafik.
Dengan nilai $a = 1$, $b = -2$, dan $c = 3$, fungsi kuadrat kita berbentuk utuh $f(x) = x^2 - 2x + 3$. Nilai diskriminannya adalah:
$$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(1)(3) = 4 - 12 = -8$$
Hasil perhitungan $D = -8$ memastikan bahwa Opsi D adalah jawaban yang benar. Pilihan lain tidak tepat: Opsi A ($-2$), Opsi B ($-4$), Opsi C ($-6$), dan Opsi E ($-10$) muncul dari kekeliruan perhitungan aljabar atau salah mengkuadratkan bilangan negatif.