Menaklukkan Sistem Persamaan Eksponen

Kenapa Tebak Angka Bikin Pusing?

Waktu pertama kali lihat soal ini, godaan terbesarnya pasti pengin langsung nebak-nebak angka. Karena lihat ada angka 3 dan 5, mungkin kamu sempat mikir: "Ah, $x=1$ dan $y=1$ aja deh, kan $3 \times 5 = 15$."

Tapi mari kita tes tebakan itu ke persamaan pertama, yaitu $3^x \cdot 5^y = 75$. Kalau $x=1$ dan $y=1$ dimasukkan, jadinya $3^1 \cdot 5^1 = 15$. Hasilnya nggak cocok dengan $75$. Tebak angka gagal total!

Kunci rahasianya ada di pertanyaannya.

Coba perhatikan: soalnya tidak meminta kamu mencari nilai $x$ atau $y$ sendirian. Soalnya meminta nilai dari satu kesatuan utuh: $x+y$.

Daripada pusing membongkar $x$ dan $y$ satu per satu (yang sangat sulit), target kita sekarang berubah: kita harus mencari cara untuk memanipulasi persamaan yang ada supaya bentuk $(x+y)$ bisa langsung muncul!

Senjata Rahasia: Kalikan Keduanya

Kita punya dua buah persamaan yang sah:

  1. $3^x \cdot 5^y = 75$

  2. $3^y \cdot 5^x = 45$

Dalam matematika, kalau kamu punya dua persamaan, kamu boleh menjumlahkan, mengurangkan, atau mengalikan keduanya (ruas kiri dengan ruas kiri, ruas kanan dengan ruas kanan).

Karena posisi variabel kita ada di pangkat (eksponen), operasi yang paling jitu untuk memicu sifat-sifat eksponen adalah perkalian. Mari kita kalikan persamaan pertama dengan persamaan kedua!

Untuk ruas kanan, kita tinggal hitung perkalian angka biasanya: $75 \cdot 45 = 3375$.

Sementara itu, untuk ruas kiri, kita biarkan dulu dalam bentuk perkalian panjang:

Kalau kamu punya persamaan $A = 10$ dan $B = 5$, operasi mana di bawah ini yang sah dan menghasilkan persamaan baru yang benar?

  • A. $A + B = 10 + 5$
  • B. $A \cdot B = 10 \cdot 5$
  • C. $A^2 = 10^2$
  • D. Semuanya benar

Jawaban: D. Semuanya benar

Dalam sistem persamaan, selama operasi dilakukan secara adil pada ruas kiri dan ruas kanan dari persamaan yang sah, hasilnya akan selalu valid.

Operasi aljabar yang sama (tambah, kurang, kali, bagi) pada ruas kiri dan kanan dari dua persamaan akan menghasilkan persamaan baru yang sah.

Merapikan Bentuk dengan Sifat Eksponen

Bentuk ruas kiri dari halaman sebelumnya masih berantakan:

Di sinilah sifat dasar eksponen datang menyelamatkan kita.

Pertama, kita kelompokkan angka dengan basis yang sama dan gunakan sifat perkalian $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

Sekarang persamaannya jadi jauh lebih cantik:

Lihat kan, target utama kita (bentuk $x+y$) sudah mulai muncul!

Selanjutnya, karena pangkatnya sudah sama (yaitu $x+y$), kita bisa menggabungkan basisnya menggunakan sifat distributif pangkat kebalikan: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.

Berdasarkan pola di atas, bentuk sederhana yang benar dari $2^p \cdot 2^q \cdot 7^p \cdot 7^q$ adalah...

  • A. $14^{p+q}$
  • B. $14^{p \cdot q}$
  • C. $9^{p+q}$
  • D. $(2+7)^{p+q}$

Jawaban: A. $14^{p+q}$

Kelompokkan basis 2 menjadi $2^{p+q}$, lalu basis 7 menjadi $7^{p+q}$. Satukan karena pangkatnya sama: $(2 \cdot 7)^{p+q} = 14^{p+q}$.

Menggunakan sifat $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ lalu disusul dengan $(a \cdot b)^k = (a \cdot b)^k$ untuk merapikan eksponen.